Временные диаграммы сигналов в интерполяторах нулевого и первого порядков

В состав интерполятора входит блок повышения частоты дискретизации в М₀ раз и интерполирующий цифровой фильтр. Из временных диаграмм видно, что интерполяция осуществляется в два этапа: сначала вместо отсутствующих отсчетов сигнала в сигнале формируются нулевые отсчеты. Затем сигнал, содержащий нулевые отсчеты, подается на интерполирующий цифровой фильтр, восстанавливающий отсутствующие отсчеты. На рисунке показаны временные диаграммы на выходе двух интерполяторов: интерполятора нулевого порядка и интерполятора 1-го поряда (линейного интерполятора). В интерполяторе нулевого порядка отсутствующие отсчеты принимают значение предшествующего им отсчета входного сигнала. В интерполяторе первого порядка вершины отсутствующих отсчетов находятся на прямой, которая соединяет вершины двух соседних отсчетов входного сигнала интерполятора.

Интерполяция нулевого порядка осуществляется с использованием однородного цифрового фильтра, а для интерполяции первого порядка применяется триангулярный фильтр. Эти фильтры рассматриваются в разделе 3. Интерполяцию нулевого порядка можно выполнить также с помощью ячейки памяти, из которой выходные отсчеты сигнала считываются в M₀ раз чаще, чем записываются отсчеты входного сигнала.

Блок-схема алгоритма прореживания, обработки и последующей интерполяции дискретного сигнала

Операции прореживания, обработки и интерполяции, предусмотренные блоками 2-12, выполняются в цикле по порядковому номеру отсчета n. Здесь m - переменная счетчика прореживателя, которая принимает значения от 0 до M₀. При m = 0 выходной сигнал прореживателя равен входному, а переменной счетчика присваивается максимальное значение, равное коэффициенту прореживания. Переменная счетчика уменьшается на единицу с приходом очередного отсчета входного сигнала x. Этот процесс продолжается до тех пор, пока переменная m снова не окажется равной нулю.

Блок обработки разбит на M ₀ блоков. Это позволяет использовать для обработки весь период дискретизации прореженного сигнала.

Заключение

При дискретизации аналогового сигнала возникают два эффекта, касающиеся спектра сигнала:

1. Эффект размножения спектра аналогового сигнала,

2. Эффект наложения сгустков спектра дискретного сигнала друг на друга.

Эффект наложения спектров приводит к искажению дискретного сигнала и невозможности точного восстановления аналогового сигнала из дискретного.

Спектр дискретного сигнала представляет собой периодическую функцию частоты, период которой равен частоте дискретизации.

Если дискретизации подвергается периодический аналоговый сигнал с линейчатым спектром, то размножение спектра осуществляется по закону:

при

где F – частота спектральной составляющей аналогового сигнала.

Амплитуды спектральных составляющих дискретного сигнала пропорциональны соответствующим составляющим спектра аналогового сигнала.

Размножение спектра апериодического аналогового сигнала осуществляется по этому же закону, если рассматривать в качестве F характерные частоты непрерывного спектра аналогового сигнала.

Эффект наложения спектров при дискретизации отсутствует, если выполняется условие

,

где F_max – максимальная частота спектра аналогового сигнала.

Если дискретизации подвергается узкополосный модулированный сигнал, а результатом последующей цифровой обработки должно быть выделение модулирующего сигнала, то частота дискретизации может быть выбрана существенно меньше, чем 2F_max.

В этом случае необходимо выполнить условия:

, где - ширина спектра аналогового сигнала,

, где , а f₀ – средняя частота спектра аналогового сигнала.

Поскольку с точки зрения реализации устройства цифровой обработки сигналов желательно иметь низкую частоту дискретизации, то в процессе обработки по мере уменьшения ширины спектра сигнала уменьшают частоту дискретизации за счет операции прореживания отсчетов или децимации.

После завершения обработки перед выдачей цифрового сигнала на цифро-аналоговый преобразователь вновь повышается частота дискретизации путем интерполяции сигнала. В результате снижаются требования к интерполирующему аналоговому фильтру на выходе цифро-аналогового преобразователя.

Задача №1

На входе дискретизатора действует аналоговый сигнал

где F₁=1МГц.

Частота дискретизации F_д=8 МГц.

Начертите спектральные диаграммы аналогового сигнала и дискретного сигнала в интервале от нуля до 20 МГц.

Спектр дискретного сигнала построить в относительном масштабе по оси ординат.

Решение задачи №1

Построим график амплитудного спектра аналогового сигнала и учтём, что частоты составляющих спектра дискретного сигнала определяются по формуле

при

где F – частота спектральной составляющей аналогового сигнала.

Задача №2

На рисунке 1а приведён спектр аналогового сигнала в интервале от f₁= 26 МГц до f₂ = 28 МГц. Построить спектральную диаграмму дискретного сигнала в интервале от нуля до

38 МГц при F_д=10 МГц

Для построения спектра дискретного сигнала сначала определим границы сгустка спектра в пределе интервала Котельникова от 0 до F_д / 2=5 МГц.

1.Определим частоту F₀ сгустка спектра дискретного сигнала в интервале Котельникова, соответствующую средней частоте спектра аналогового сигнала f₀=27 МГц.

Для этого найдём значение k₀, при котором появляется сгусток спектра в интервале от нуля до 5 МГц

Так как принимаем k₀=3.

Тогда

2. Определим частоту F₁ в пределах интервала Котельникова, соответствующую частоте f₁=26 МГц и учтём, что на этой частоте спектральная плотность аналогового сигнала минимальна

.

3. Определим частоту F₂ в пределах интервала Котельникова, соответствующую частоте f₂=28 МГц и учтём, что на этой частоте спектральная плотность аналогового сигнала максимальна

.

4. Определим граничные частоты сгустка спектра дискретного сигнала в интервале от

При построении спектра в интервале от 6 до 8 МГц учтём значения спектральных плотностей на частотах F₁ и F₂.

5. Спектр дискретного сигнала в интервале от 10 до 38 МГц строится с учётом его периодичности с периодом, равным F_д.

Задача №3

На входе дискретизатора действует модулированный аналоговый сигнал, спектр которого симметричен относительно частоты несущей f₀ = 445кГц (рисунок 1). Ширина спектра . При каком из двух значений частоты дискретизации отсутствует эффект наложения спектров: F_Д=20кГц, F_Д=21кГц?

Рисунок 1

Решение задачи №3

1. Проверяем выполнение условия

Случай 1.

Случай 2.

Условие выполняется при двух значениях частоты дискретизации

2. Определим значение средней частоты спектра сигнала, приведённой в интервал Котельникова

где

Случай 1.

Так как принимаем k₀=22.

Тогда

Условие выполняется.

Следовательно, наложение спектров отсутствует.

Случай 2.

Так как принимаем k₀=21.

Тогда

Условие не выполняется.

Определим спектр дискретного сигнала в пределах интервала Котельникова

Сгусток спектра дискретного сигнала выходит за пределы интервала Котельникова, следовательно, возникает наложение спектров.

.

Контрольные вопросы и задачи по теме №1:

1. Что такое дискретизация аналогового сигнала? Начертите временные диаграммы синусоидального сигнала на входе и выходе дискретизатора в случае, когда частота синусоидального колебания меньше половины частоты дискретизации.

2. Начертите спектральные диаграммы синусоидального сигнала на входе и выходе дискретизатора в случае, когда частота синусоидального колебания меньше половины частоты дискретизации.

3.В чем сущность эффекта наложения спектров? Каким образом можно уменьшить ошибку наложения?

4.Начертите амплитудный спектр дискретной синусоиды, если частота аналогового синусоидального колебания на входе дискретизатора выше частоты дискретизации.

5. Из каких условий выбирается частота дискретизации модулированного колебания, если результатом последующей цифровой обработки должно быть выделение модулирующего колебания?

6. Дискретизация синусоидального колебания , где f₀=20МГц, осуществляется с частотой F_Д = 16 МГц. Чему равна частота дискретной синусоиды?

7. На входе аналогового ФНЧ действует последовательность прямоугольных импульсов. АЧХ фильтра показана на рисунке 1. Выходной сигнал фильтра подается на дискретизатор. Частота дискретизации равна 20 кГц. Возникнет ли эффект наложения спектров при дискретизации?

8. На входе дискретизатора действует сигнал ,

где F₁=1 МГц, F₂ = 2 МГц. Частота дискретизации F_Д = 8 МГц. Чему равен максимальный частотный разнос между соседними составляющими спектра дискретного сигнала?

9. На входе дискретизатора действует сигнал , где F=1 МГц, f₀ = 15 МГц. Частота дискретизации F_Д = 12 МГц. Чему равен минимальный частотный разнос между соседними составляющими спектра дискретного сигнала?

10.На рисунке 1приведен спектр аналогового сигнала. Начертите в относительном масштабе спектр сигнала после дискретизации в пределах интервала Котельникова (от 0 до половины частоты дискретизации), если f₀=28МГц, f_min=25МГц, f_max=31МГц, а частота дискретизации равна F_Д= 16 МГц.

11. На входе демодулятора действует модулированный аналоговый сигнал, спектр которого симметричен относительно частоты несущей f₀ = 445кГц (рисунок 1). Ширина спектра . При каком из двух значений частоты дискретизации отсутствует эффект наложения спектров: F_Д=20кГц, F_Д=21кГц?

Контрольная карта ответов по теме №1

Номер ответа соответствует номеру контрольного вопроса в предыдущем разделе.

6. F = f₀ –F_Д = 20-16 = 4 МГц

7. F_Д = 20 кГц, F_max = 8 кГц. Так как F_Д> 2 F_max, то эффект наложения не возникнет.

8. Максимальный частотный разнос между соседними составляющими спектра дискретного сигнала равен 4 МГц

9. Минимальный частотный разнос между соседними составляющими спектра дискретного сигнала равен 2 МГц.

10.

11. Эффект наложения отсутствует при частоте дискретизации F_Д =20 кГц.

Список литературы по теме № 1:

1. В.Г.Иванова, А.И.Тяжев. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры / Под редакцией д.т.н., профессора Тяжева А.И. - Самара, 2008г.

2.Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. –2-е изд., перераб. и доп.- СПб.: Политехника, 1999. –592с.

: ил.

3. А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьёва. Основы цифровой обработки сигналов.- Изд. 2-е испр. и перераб. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-768с.: ил.

4.А.Б. Сергиенко. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002.-2002.-608с.: ил.