Линейное неоднородное ДУ первого порядка. Задача Коши.

Наконец, рассмотрим неоднородное уравнение (2):

Его можно привести к виду: или

или , (22)

где ; .

Уравнение вида (22) – неоднородное уравнение. Ему соответствующее однородное уравнение имеет вид (правая часть равна нулю):

. (23)

Общее решение уравнения (22) имеет следующий самый обобщенный вид:

. (24)

Геометрически общее решение (24) – есть семейство интегральных кривых (рис.1),

соответствующих различным значениям С. Если задать точку , через которую должна проходить интегральная прямая, то тем самым из общего решения мы получим:

. (25)

Из этого условия можно найти постоянную С (например, C=C₁), т.е. определить соответствующее частное решение. В этом состоит задача Коши.

Задача Коши. По начальному условию найти частное решение заданного ДУ: , соответствующее конкретному значению константы C=C₁. Геометрически это означает выбор одной интегральной кривой из семейства.

Более подробное выражение, чем формула (24), для общего решения линейного неоднородного ДУ (22) можно дать на основе следующего известного утверждения (без вывода):

Общее решение неоднородного линейного ДУ первого порядка(22) равно сумме некоторого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (23):

(26)