Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
Составляют важнейший класс уравнений, причем решение их относительно несложное, т.к. выражается через элементарные функции.
4.1. Уравнение первого порядка . (4.1) Решением такого уравнения (см. выше) может быть только функция вида , (4.2) где λ – корень характеристического уравнения, получающегося из уравнения (4.1) следующим простым способом:
; : . (4.3) Из него имеем: , поэтому общее решение ДУ имеет вид: (4.4) Пример. . 1. Характеристическое уравнение: 2. Находим корень: . 3. Общее решение по (4.2): ПРИМЕЧАНИЕ. Ответ можно сразу записать по выражению (4.4).
4.2. Уравнение второго порядка (12)
Характеристическое уравнение получается заменой: ( 18) Решая его, находим корни λ 1 и λ 2. В случае различных корней общее решение ДУ будет иметь вид: (19) Корни также могут быть одинаковыми и комплексно-сопряженными. В этих случаях решение будет отличаться от (19). Пример. . 1. Характеристическое уравнение: 2. Находим его корни: . 3. Общее решение имеет вид в соответствии с (19):
5. Линейное однородное ДУ первого порядка с коэффициентом, являющимся функцией от х
Такое уравнение похоже на уравнение (7): . (20) Соответственно, его решение близко к решению (8) ДУ с постоянными коэффициентами, но несколько сложнее: (21) Пример. 1. Поскольку , то находим 2. В соответствии с (21) записываем общее решение:
|