Первый закон термодинамики. Термодинамические процессы.

4.1. Общие положения.

При воздействии на рабочее тело внешней среды (сжатие или расширение, подвод или отвод тепла) происходит изменение его состояния.

Последовательное изменение термодинамического состояния системы называется термодинамическим процессом.

Изучение всей совокупности термодинамических процессов является одной из основных задач термодинамики. Математические зависимости, определяющие характер протекания термодинамического процесса и устанавливающие взаимосвязь параметров состояния в различные моменты времени, справедливы для обратимых процессов.

Обратимым называется процесс, который, как в прямом так и в обратном направлениях, последовательно проходит через ряд одинаковых равновесных состояний, но при обратном процессе в обратной последовательности.

Равновесным называется состояние, при котором температура и давление для всего рабочего тела одинаковы.

Обратимые термодинамические процессы являются идеальными и происходят с идеальными газами. Закономерности идеальных термодина­мических процессов можно использовать при технических расчетах в реальных процессах, вводя характерные для этих процессов поправки. Как говорилось выше, термодинамические процессы протекают при воздействии внешней среды.

Согласно первого закона термодинамики, при подводе к рабочему телу тепла может быть совершена работа численно равная теплу и наоборот.

В общем случае тепло, подведенное к рабочему телу, идет на изменение внутренней энергии и на совершение внешней работы.

Изменение внутренней энергии характеризуется изменением кинетической энергии молекул и для идеальных газов зависит от изменения температуры рабочего тела и вида газа.

Внешняя работа зависит от изменения давления и удельного объема. Уравнение связывающее изменение внутренней энергии, внешней работы и тепла в тепловом процессе, называется математическим выражением 1-го закона термодинамики, и имеет вид: для I кг газа

q = ∆ u + l,, Дж/кг

для произвольного количества газа

Q = m(∆ u + l), Дж

где: q, Q - тепло участвующее в процессе с количеством газа;

m - масса газа, кг;

∆ u - изменение внутренней энергии, Дж/кг;

l - внешняя работа, Дж/кг;,

Вся совокупность процессов носит название политропных (pvⁿ = const).

Но в термодинамике выделяется, так называемая, группа основных процессов, имеющая важное теоретическое и практическое значение при исследованиях. К этим процессам относятся:

- изохорный, протекающий при постоянном объеме (v = const);

- изобарный, протекающий при постоянном давление (р = const);

- изотермический, протекающий при постоянной температуре (pv = const);

- адиабатный, протекающий без теплообмена с внешней средой (pv^k =
const).

В скобках указаны математические уравнения графиков процессов в p-v координатах.

При исследовании термодинамических процессов решается ряд задач: значение и соотношение параметров состояния в процессе, теплоемкость процесса, изменение внутренней энергии, внешняя работа процесса и тепло процесса. Кроме этого для политропных процессов, не входящих в группу основных, определяется показатель политропы, позволяющий отличить данный процесс от других.

4.2 Значение и соотношение параметров в термодинамических процессах.

В основном, значение параметров состояния в процессе определяется из соотношений, которые для различных процессов выглядят следующим образом:

- изохорный процесс из выражения (1.16);

- изобарный процесс из выражения (1.20);

- изотермический процесс из выражения (1.18);

- адиабатный процесс:

_{k 1/k}

(4.3)

(1-k)/k

(4.4)

k-1

(4.5)

где: k – показатель адиабаты,

k = c_p/c_v

- политропный процесс

n 1/n
(4.6)

_(n-1)/n

(4.7)

_n-1

(4.8)

где: n – показатель политропы

(4.9)

с, c_p, c_v - соответственно, теплоемкости политропного, изобарного и изохорного процессов.

4.3. Теплоемкость в термодинамических процессах.

Теплоемкость, в любом процессе, может быть определена по теплу и вызванному этим теплом изменением температур по формулам (3.1; 3.2).

Теплоемкости в изохорном и изобарном процессах при с= const может быть определена с использованием уравнений (3. 12 и 3. 13).

Так как изменение температур в изотермическом процессе равна нулю, то теплоемкость с= ±∞.

В адиабатном процессе, осуществляемом без теплообмена с=0. Теплоемкость политропного процесса определяется по зависимости:

с = с_v/α (4.10)

где: α - доля тепла процесса, идущего на изменение внутренней энергии,

α =∆ u/q (4.11)

Значение коэффициента а для данного типа газа может быть определено как функция показателя политропы

α =(n-l)l(n-k) (4.12)

Подставляя значение а в формулу (4.10) уравнение теплоемкости политропного процесса будет иметь вид:

с = c_v × (n-k)/(n-l) (4.13)

4.4 Изменение внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии не зависит от характера протекания процесса и для идеальных газов зависит только от типа газа и изменения температуры.

В любом термодинамическом процессе (за исключением изотермического, где AU= 0) изменение внутренней энергии I кг газа оп­ределяется по формуле:

∆ u = c_v× (T₂-T₁) (4.14)

с_v- изохорная массовая теплоемкость газа, участвующего в процессе. 4.5. Внешняя работа.

Внешняя работа термодинамического процесса зависит от характера его прохождения. Математические зависимости работы 1 кг газаосновных и политропных термодинамических процессов имеют вид:

- изохорный процесс;

l =0 (нет изменения объема)

- изобарный процесс

l = p(v₂ – v₁) или l = R(T₂ – T₁) (4.15)

-изотермический (по одной из зависимостей)

l = p₁v₁ln(v₂/v₁);

l = p₁v₁ln(v₂/v₁);

l = p₁v₁ln(p₂/p₁);

l = RT× ln(v₂/v₁);

l = RT× ln(p₂/p₁). (4.16)

- адиабатный процесс

l = (p₁v₁ – p₂v₂)/(k – 1);

l = R(T₁ – T₂)/(k – 1);

_k-1
;

_(k-1)/k

; (4.17)

- политропный процесс

l = (p₁v₁ – p₂v₂)/(n – 1);

l = R(T₁ – T₂)/(n – 1);

_n-1

_(n-1)/n

(4.18)

Внешняя работа 1кг газа в любом термодинамическом процессе может
быть определена по формуле, полученной из первого закона термодинамики
(4.1) и коэффициента α (4.11)

l = q(1 –α) (4.19)

4.6. Тепло термодинамического процесса.

Тепло подводимое (отводимое) к рабочему телу может быть определено по нескольким зависимостям:

- по формулам (3.4, 3.6, 3.8), используя теплоемкость соответствующего
процесса;

- по уравнению первого закона термодинамики (формулы 4.1 или 4.2);

- по формуле вытекающей из 4.11 или 4.19

q = ∆ U/α; q = l/(l-a) (4.20)

Коэффициент а для основных термодинамических процессов имеет следующие значения:

- изохорный α =1

- изобарный α =1/к

- изотермический α =0

- адиабатный α = ±∞.

Одним из дополнительных параметров состояния газа является энтальпия, представляющая сложную функцию основных параметров. Значение энтальпии для 1кг газа определяется выражением:

i = u+pv (4.21)

Более важное значение имеет не абсолютное значение энтальпии а ее изменение:

∆ i = С_p∆ T или di = C_pdT (4.22)

для произвольного количества газа

∆ I = mc_p∆ T (4.23)

Из выражений (4.22 и 4.23) видно, что изменение энтальпии и тепло в изобарном процессе равны между собой. Изменение энтальпии 1кг газа не зависит от характера протекания процесса и в любом термодинамическом процессе является функцией изобарной теплоемкости и изменения температуры.

4.1 Указания к решению задач четвертого раздела.

При решении задач связанных с термодинамическими процессами возможно использование математических зависимостей как данного раздела, так и трех предыдущих,

Принцип решения задач такой же, как и при решении задач предыдущих разделов.

В начале записываются математические зависимости величин, которые необходимо определить по условию задачи. Если, после анализа уравнения, неизвестных окажется больше одного, то лишние неизвестные определяют, по соответствующим, формулам, используя дополнительные значения задачи.

Пример 4.1.

Изменение внутренней энергии 1 кг газа в термодинамическом процессе, протекающем при постоянном давлении равно 200 кДж. Начальная температура газа 15°С. Изобарная теплоемкость 1 кДж/(кгхК) молекулярная масса равна 30. Теплоемкость с = const. Определить температуру в конце процесса.

Решение:

1. Конечную температуру можно определить из уравнения внутренней энергии (4.14)

∆ u = с_v(T₂ – T₁); => Т₂ = Т₁ + (∆ u/c_v)

В уравнении лишнее неизвестное - изохорная теплоемкость.

2.Изохорную теплоемкость можно определить из уравнения 3.10. c_v = c_p – R = c_p -(R_y/μ)=(1- 8, 314/30) = 0, 723 кДж/(кг× К)

Начальная абсолютная температура

T₁ = 273 + t°C = 273 + 15 = 288 К, следовательно

Т₂ = 288 + (200/0, 723) = 565К.

Пример 4.2.

Определить тепло, отводимое от 1кг газа при изотермическом сжатии. Начальные параметры газа: манометрическое давление 0, 5 ат, удельный объем 1, 0 м3/кг, атмосферное давление 700 мм. рт. ст. Плотность газа в конце сжатия 2, 5 кг/м3.

Решение:

1. В изотермическом процессе отводимое тепло равно работе сжатия

l = q.

2. Работа сжатия может быть определена по одной из формул (4.16)
l =p₁v₁ ln (v₂/v₁).

3. Абсолютное давление в начале сжатия

p₁ = p_м + p_pmgh_cm = 0.5× 98100 + 13546× 9.81× 0.7 = 142.44 кПа

4. Конечный удельный объем

v₂ = 1/p = 1/2.5 = 0.4 м³/кг

l = 142.44× 1.0× ln(0.4/1.0) = -130.52 кДж/кг

Отрицательное значение работы говорит о том, что процесс обратный и работа совершается над газом внешними силами.

Пример 4.3.

В баллоне вместимостью 15л содержится воздух под давлением 0, 4 МПа и при температуре 30 °С. Какова температура воздуха в результате подвода к нему 16 кДж теплоты? Удельная изохорная теплоемкость С_v=736 Дж/(кгхК).

Решение:

Предварительно вычислим массу воздуха т. Из уравнения состояния имеем

m=р₁У/(RТ₁).

Так как для воздуха R= 287 Дж/(кгхК) (таблица 2.1), то

m = 0, 4х10⁶хО, 015/(287х303) = 0, 069 кг.

2. Процесс протекает при постоянном объеме, поэтому конечную температуру? 2 найдем из уравнения (5.1): Q_{1, 2} = mc_v(t₂-t₁), откуда

t₂ = t₁ + Q_{1, 2} /(c_v× m) = [30 + 16х10³/(0; 069 х736)]= 366°С.

Пример 4.4.

Воздух массой 2 кг, при давлении р₁ = 1 МПа и температуре t₁ = 300°С, расширясь по адиабате увеличивает объем в 5 раз. Найти конечные объем, давление, температуру, работу и изменение внутренней энергии.

Решение. Находим начальный объем газа V\t из уравнения состояния:

V₁ = mRT₁/p₁.

Удельная газовая постоянная воздуха равна R_возд = 287, 1 Дж/(кгхК), поэтому

V₁ =2x287, lx573/(lx10⁶) = 0, 33м³.

По условию конечный объем V₂ = 5V₁, поэтому V₂ = 1, 65 м³.

Находим конечное давление p₂ из уравнения (4.3):

p₁/p₂ = (V₂/V₁)^k.

Примем для воздуха значение показателя адиабаты k = 1, 4 (как для смеси двухатомных газов), тогда p₁/p₂ = 5^1.4 = 9, 52. Отсюда р₂ =p₁/9, 52 = 0, 1 МПа.

Воспользовавшись уравнением состояния, найдем конечную температуру

T₂=p₂V₂/mR = 0, 1 х10⁶х1, 65(2x287, 1) = 287 К или t₂= (287 - 273) °С = 14° С.

Для вычисления работы L используем уравнение 4.17:

L=mR(t₁-t₂)/(k- 1) = 2x287, 1 (300- 14)/(1, 4- 1) = 411 кДж.

Изменение внутренней энергии в адиабатном процессе равно работе, поэтому

U₂ – U₁ = - L = -411 кДж.

Пример 4.5.

Воздух, с начальным объемом 8 м³ и начальной температурой

t₁ = 20°C сжимается по политропе, с показателем и =1, 2, от давления

р₁ = 0, 09 МПа до давления р₂ = 0, 81 МПа. Найти конечные температуру, объем воздуха и работу.

Решение 1. Находим конечную температуру из уравнения (4.7)

Т₂ = T₁(p₂/p₁)^(n-1)/n = 423 К

2. Определяем конечный объем V2, руководствуясь уравнением (1.12)

p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂

V₂ = (p₁V₁/T₁)(T₂/p₂) = 1.28 м³

3. Находим работу изменения объема:

L_{1, 2} = (P₁V₁ – р₂ V₂)/(n - 1) = -1, 58 МДж

Пример 4.6.

Процесс расширения газа происходит по политропе с показателем

n = 0, 8. Определить условия протекания процесса.

Решение: В данном процессе n < 1. Следовательно, линия процесса должна располагаться не только выше адиабаты, но и выше изотермы, а поэтому теплота к газу должна подводиться, температура повышаться, а внутренняя энергия увеличиваться. Это означает, что теплота подводится к газу извне в большем количестве, чем это нужно для совершения работы, поэтому часть подведенной теплоты идет на увеличение его внутренней энергии.

4.2 ЗАДАЧИ К ЧЕТВЕРТОМУ РАЗДЕЛУ.

4.1. Какое количество теплоты нужно сообщить 1кг углекислого газа,
содержащемуся в баллоне вместимостью 0, 8 м3, для повышения давления от 0, 1 до 0, 5 МПа, принимая с_v = 838 Дж/(кгхК)?

4.2.Сколько теплоты нужно сообщить, при постоянном объеме, газовой смеси массой 1 кг, давлением 1, 2 МПа и температурой 390°С, чтобы повысить давление до 4 МПа? Удельная теплоемкость смеси c_v = 956 Дж/(кгхК).

4.3. К воздуху в баллоне вместимостью 100 л при давлении p₁ = 0, 3 МПа и температуре t₁ = 15° С подводится теплота в количестве 148, 8 кДж. Найти конечные температуру и давление воздуха в баллоне, если удельная теплоемкость с_v - 752 Дж/(кгхК).

4.4. В пусковом баллоне дизеля находится воздух под давлением
р₁ =2, 4МПа и при температуре Т₁ = 500 К. Найти давление в баллоне при
охлаждении воздуха в нем до 15° С и количество выделенной при этом
теплоты, если вместимость баллона 0, 5 м³, а удельная теплоемкость с_v = 726
Дж/(кгхК).

4.5. Найти, какая часть теплоты подведенной в изобарном процессе к
двух атомному газу, расходуется на увеличение его внутренней энергии.

4.6. Азот массой 0, 5 кг расширяется по изобаре при давлении 0, 3 МПа
так, что температура его повышается от 100 до 300° С. Найти конечный объем азота, совершенную им работу и подведенную теплоту.

4.7. Воздуху сообщается 42 кДж теплоты при постоянном давлении.
Найти совершенную при этом работу, если с_p = const.

4.8. Воздух объемом 3 м³ при температуре 10°С расширяется изобарно с
увеличением объема в 1, 5 раза вследствие подвода к нему 630 кДж теплоты.
Найти давление, при котором происходит процесс расширения, и совершенную
при этом работу, если с_P = const.

4.9. Воздух при начальных условиях V₁= 0, 05 м³, Т₁= 850 К яр = 3 МПа
расширяется при постоянном давлении до объема V₂ — 0, 1 м³. Найти конечную
температуру, подведенную теплоту, изменение внутренней энергии и работу
изменения в процессе.

4.10. Газы, двигаясь по дымовой трубе при постоянном давлении,
охлаждаются от 350 до 294°С. Найти, во сколько раз площадь верхнего
отверстия трубы должна быть меньше площади нижнего отверстия при
сохранении одинаковой скорости газов в ней.

4.11. Подача воздуха компрессором 1, 5 м³/мин при давлением 0, 8 МПа и
температуре 207°С. Для охлаждения сжатый воздух проходит при постоянном
давлении трубчатый водяной холодильник, при выходе из которого он имеет
температуру 47°С. Найти массовый расход охлаждающей воды, если при входе
в холодильник она имеет температуру 12°С, а при выходе 28°С. Теплоемкость
воздуха Ср =1, 013 кДж/(кгхК), теплоемкость воды 4, 19 кДж/(кгхК).

4.12.Определить количество тепла подведенного к газу, находящемуся в
металлическом болоне, чтобы восстановить первоначальное давление после
выпуска 20% газа. Температура после выпуска осталась прежней. (c_v= 0, 7
кДж/(кгхК), R = 0, 25 кДжУ(кгхК))

4.13. Определить тепло подведенное в изохорном процессе. Параметры
процесса следующие: t₁ = 20°, t₂ = 73°С, V = 0, 2м³, р_изб = 2ат, р_а= 700мм.рт.ст., μ
= 32кг/кмоль.

4.14. Определить давление в начале и конце изотермического процесса и
тепло подведенное к газу. Параметры состояния газа: t = 50°С, V₁ = 2м³, V₂ =
Зм³, масса газа m = 1, 2кг, μ = 25кг/кмоль.

4.15. Определить показатель политропы в термодинамическом процессе
при следующих термодинамических параметрах в начале и в конце процесса: p_i
= 5ат, р₂ = 1, 5ат, v = 0, 2м³/кг, t₂= 30°C, R = 0, 3 кДж/(кгхК).

4.16. Изменение энтальпии в изобарном процессе a_i = 120 кДж/кг.
Определить работу и изменение внутренней энергии в процессе. Масса газа 1кг.
Рабочее тело одноатомный газ (μ =25кг/кмоль), теплоемкость постоянна.

4.17. Воздух, объемом 0, 2 м3 и давлением 0, 2 Мпа, подогревается в
цилиндре диаметром 0, 5 м от 18СС до 182°С при постоянном давлении. Найти
работу расширения воздуха, расстояние, на которое передвинется поршень в
цилиндре и подведенное тепло.

4.18. В компрессоре сжимается воздух массой 2кг при постоянной
температуре 200°С от p₁ - 0, 1 МПа до р₂ = 2, 5 МПа. Найти массу воды т,,
необходимую для охлаждения сжимаемого воздуха, если начальная
температура воды 15°С, а конечная 50° С, удельная теплоемкость воды с_v = 4, 19
кДж/(кгхК).