Уравнения тяготения Эйнштейна

В спец. теории относительности в инер-циалъной системе отсчёта квадрат четырёхмерного " расстояния" в пространстве-времени (интервала ds) между двумя бесконечно близкими событиями записывается в виде:
[ris]

где t - время, х, у, z - прямоугольные декартовы (пространственные ) координаты. Эта система координат наз. галилеевой. Выражение (7 ) имеет вид, аналогичный выражению для квадрата расстояния в евклидовом трёхмерном пространстве в декартовых координатах (с точностью до числа измерений и знаков перед квадратами дифференциалов в правой части ). Такое пространство-время называют плоским, евклидовым, или, точнее, псевдоевклидовым, подчёркивая особый характер времени: в выражении (7 ) перед (cdt)² стоит знак " +", в отличие от знаков " -" перед квадратами дифференциалов пространств. координат. Т. о., спец. теория относительности является теорией физ. процессов в плоском пространстве-времени (пространстве-времени Минковского; см. Минковского пространство).

В пространстве-времени Минковского не обязательно пользоваться декартовыми координатами, в к-рых интервал записывается в виде (7 ). Можно ввести любые криволинейные координаты. Тогда квадрат интервала ds² будет выражаться через эти новые координаты общей квадратичной формой:
[ris]

(i, k = 0, 1, 2, 3), где x¹, x ², х³- произвольные пространств. координаты, x ° = ct- временная координата (здесь и далее по дважды встречающимся индексам производится суммирование). С физ. точки зрения переход к произвольным координатам означает и переход от инерц. системы отсчёта к системе, вообще говоря, движущейся с ускорением (причём в общем случае разным в разных точках), деформирующейся и вращающейся, и использование в этой системе недекартовых пространств. координат. Несмотря на кажущуюся сложность использования таких систем, практически они иногда оказываются удобными. Но в спец. теории относительности всегда можно пользоваться и галилеевой системой, в которой интервал записывается особенно просто. [В этом случае в формуле (8) ди, - О при i = k, g₀₀ = 1, g_и = -1 при I = 1, 2, 3.]

В общей теории относительности пространство-время не плоское, а искривлённое. В искривлённом пространстве-времени (в конечных, не малых, областях ) уже нельзя ввести декартовы координаты, и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях такого искривлённого пространства-времени ds² записывается в криволинейных координатах в общем виде (8 ). Зная g_ik как функции четырёх координат, можно определить все геометрические свойства пространства-времени. Говорят, что величины g_ik, определяют метрику пространства-времени, а совокупность всех g_ik, называют метрическим тензором. С помощью g_ikвычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пространстве. Так, формула для вычисления бесконечно малого интервала времени d_t по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид:
[ris]

При наличии поля Т. величина g₀₀в разных точках разная, следовательно, темп течения времени зависит от поля Т. Оказывается, что чем сильнее поле, тем медленнее течёт время по сравнению с течением времени для наблюдателя вне поля.

Математич. аппаратом, изучающим неевклидову геометрию (см. Романова геометрия) в произвольных координатах, является тензорное исчисление. Общая теория относительности использует аппарат тензорного исчисления, её законы записываются в произвольных криволинейных координатах (это означает, в частности, запись в произвольных системах отсчёта), как говорят, в ковари-антном виде.

Осн. задача теории Т.- определение гравитац. поля, что соответствует в теории Эйнштейна нахождению геометрии пространства-времени. Эта последняя задача сводится к нахождению метрич. тензора g_ik.

Уравнения тяготения Эйнштейна связывают величины g_ik, с величинами, характеризующими материю, создающую поле: плотностью, потоками импульса и т. п. Эти уравнения записываются в виде:
[ris]

Здесь R_ik - т. н. тензор Риччи, выражающийся через g_ik, его первые и вторые производные по координатам; R = = R_ik g^ik(величины g^ikопределяются из уравнений g_ik, g^km = б^m, где б^m - Кронекера символ); Т_ik, - т. н. тензор энергии-импульса материи, компоненты к-рого выражаются через плотность, потоки импульса и др. величины, характеризующие материю и её движение (под физ. материей подразумеваются обычное вещество, электромагнитное поле, все др. физ. поля).

Вскоре после создания общей теории относительности Эйнштейн показал (1917), что существует возможность изменения уравнений (9) с сохранением осн. принципов новой теории. Это изменение состоит в добавлении к правой части уравнений (9) т. н. " космологич. члена": Лg_ik. Постоянная Л, наз. " космологич. постоянной", имеет размерность с м^{- 2}. Целью этого усложнения теории была попытка Эйнштейна построить модель Вселенной, к-рая не изменяется со временем (см. Космология). Космологич. член можно рассматривать как величину, описывающую плотность энергии и давление (или натяжение ) вакуума. Однако вскоре (в 20-х гг. ) сов. математик А. А. Фридман показал, что уравнения Эйнштейна без Л-члена приводят к эволюционирующей модели Вселенной, а амер. астроном Э. Хаббл открыл (1929 ) закон т. н. красного смещения для галактик, к-рое было истолковано как подтверждение эволюц. модели Вселенной. Идея Эйнштейна о статич. Вселенной оказалась неверной, и хотя уравнения с Л-чле-ном тоже допускают нестационарные решения для модели Вселенной, необходимость в Л-члене отпала. После этого Эйнштейн пришёл к выводу, что введение Л-члена в уравнения Т. не нужно (т. е. что Л = 0 ). Не все физики согласны с этим заключением Эйнштейна. Но следует подчеркнуть, что пока нет никаких серьёзных наблюдательных, экспериментальных или теоретич. оснований считать Л отличным от нуля. Во всяком случае, если Л=0, то, согласно астро-физич. наблюдениям, его абс. величина чрезвычайно мала: |Л| < 10^-55 с м^{- 2}. Он может играть роль только в космологии и практически совершенно не сказывается во всех др. задачах теории Т. Везде в дальнейшем будет положено Л = 0.

Внешне уравнения (9 ) подобны уравнению (4 ) для ньютоновского потенциала. В обоих случаях слева стоят величины, характеризующие поле, а справа - величины, характеризующие материю, создающую поле. Однако уравнения (9 ) имеют ряд существ. особенностей. Уравнение (4 ) линейно и поэтому удовлетворяет принципу суперпозиции. Оно позволяет вычислить гравитац. потенциал Фдля любого распределения произвольно движущихся масс. Ньютоновское поле Т. не зависит от движения масс, поэтому уравнение (4 ) само не определяет непосредственно их движение. Движение масс определяется из второго закона механики Ньютона (6 ). Иная ситуация втеории Эйнштейна. Уравнения (9 ) нелинейны, не удовлетворяют принципу суперпозиции. В теории Эйнштейна нельзя произвольным образом задать правую часть уравнений (Т_ik). зависящую от движения материи, а затем вычислить гравитац. поле g_ik. Решение уравнений Эйнштейна приводит к совместному определению и движения материи, создающей поле, ик вычислению самого поля. Существенно при этом, что уравнения поля T. содержат в себе и уравнения движения масс в поле Т. С физ. точки зрения это соответствует тому, что в теории Эйнштейна материя создаёт искривление пространства-времени, а это искривление, в свою очередь, влияет на движение материи, создающей искривление. Разумеется, для решения уравнений Эйнштейна необходимо знать характеристики материи, к-рые не зависят от гравитац. сил. Так, напр., в случае идеального газа надо знать уравнение состояния вещества - связь между давлением и плотностью.

В случае слабых гравитац. полей метрика пространства-времени мало отличается от евклидовой и уравнения Эйнштейна приближённо переходят в уравнения (4 ) и (6 ) теории Ньютона (если рассматриваются движения, медленные по сравнению со скоростью света, и расстояния от источника поля много меньше, чем X = с т, где т - характерное время изменения положения тел в источнике поля ). В этом случае можно ограничиться вычислением малых поправок к уравнениям Ньютона. Эффекты, соответствующие этим поправкам, позволяют экспериментально проверить теорию Эйнштейна (см. ниже ). Особенно существенны эффекты теории Эйнштейна в сильных гравитац. полях.