Теоретическая часть. Цель и задачи лабораторной работы

Отсчет – короткий импульс, длительностью и равный мгновенному значению непрерывного сигнала в момент . Каждый член ряда выражается одинаковой функцией вида (функция отсчетов) и отличается друг от друга коэффициентом, пропорциональным ординате отсчета . Особенностью ряда является то, что в моменты значения ряда определяются только k -ым членом разложения, т.к. все другие члены ряда в этот момент обращаются в ноль:

Процесс замены непрерывного сигнала на дискретные отсчеты называется дискретизацией. Величина, обратная интервалу дискретизации
f_д = 1/∆ t, называется частотой дискретизации. Теорема Котельникова может иметь другое условие: f_д ≥ 2F_в – частота дискретизации должна быть как минимум вдвое выше верхней частоты спектра сигнала.

Если спектр сигнала находится в полосе частот ∆ F = f_в - f_н, не включая нулевых частот, то правило дискретизации Котельникова выглядит так: f_д ≥ 2∆ F.

Первая форма записи теоремы Котельникова [3].

Существо теоремы следующее. Функцию S(t) с финитным (огра­ниченным) спектром можно точно восстановить (интерполировать) по ее отсчетам , взятым через интервалы , где F— верх­няя частота спектра функции. Это осуществляется с помощью ряда Котельникова:

Где в качестве интерполирующих функций используются функции отсчетов:

Эти функции представляют со­бой весовую или импульсную ха­рактеристику идеального ФНЧ. Передаточная функция идеально­го ФНЧ (рисунок 3.2):

Рисунок 4.1 – Передаточная функция идеального ФНЧ

Процесс восстановления сигнала рядом Котельникова отражен на рисунке 4.2 Функция при и равна 0 в момент дискретизации , где , где принимает целочисленные значения (кроме ).

Если допустить, что сигнал S(t) имеет конечную длительность Т и ширину спектра F, то для его представления потребуется не­зависимых отсчетов.

Рисунок 4.2 – Процесс восстановления рядом Котельникова

Процесс дискретизации непрерывной функции и ее восстановления по дискретной последовательности отсчетов иллюстрируется рисунке 4.3:

Рисунок 4.3 - Процесс дискретизации непрерывной функции и ее восстановления

Таким образом, по дискретной последовательности отсчетов функции можно абсолютно точно восстановить исходную непрерывную функ­цию X(t), если отсчеты брались с интервалом .

Это говорит о том, что не существует принципиальных различий между непрерывными и дискретными сигналами. Из любого непрерывного сигнала с ограниченным спектром можно взять его отсчеты в дискретные моменты вре­мени, а затем по этим отсчетам абсолютно точно восстановить исходный не­прерывный сигнал. При этом, для абсолютно точного восстановления сигна­ла, не нужно брать отсчеты бесконечно часто, достаточно, чтобы соблю­далось условие .