Включение в модель регрессии фактора времени при изучении взаимосвязей временных рядов

Включение в модель регрессии фактора времени

В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздействие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида , относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной.

Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, т.к и есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры a и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК.

-------В статистике, обработке сигналов и многих других областях под временным рядом понимаются последовательно измеренные через некоторые (зачастую равные) промежутки времени данные. Анализ временных рядов объединяет методы изучения временных рядов, как пытающиеся понять природу точек данных (откуда они взялись? что их породило?), так и пытающиеся построить прогноз. Прогнозирование временных рядов заключается в построении модели для предсказания будущих событий основываясь на известных событий прошлого, предсказания будущих данных до того как они будут измерены. Существуют две основные цели анализа временных рядов: (1) определение природы ряда и (2) прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям).

21.Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона. Автокорреляция в остатках.

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В со­ответствии с предпосылками МНК остатки ε _t должны быть слу­чайными (рис. 1 а). Однако при моделировании временных ря­дов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тен­денцию (рис. 1 б) и в))или циклические колебания (рис.1 г)). Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение ос­татков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о на­личии автокорреляции остатков.

Рис. 1. Модели зависимости остатков от времени

а— случайные остатки; б — возрастающая тенденция в остатках;

в - убывающая тенденция в остатках;

г - циклические колебания в остатках

Существуют два наиболее распространенных метода опреде­ления автокорреляции остатков. Первый метод - это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод — использо­вание критерия Дарбина — Уотсона и расчет величины

Соотношение между критерием Дарбина — Уотсона и коэф­фициентом автокорреляции остатков первого порядка:

Таким образом, если в остатках существует полная положи­тельная автокорреляция и = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то = -1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то = 0 и d = 2. Следовательно,

0 ≤ d ≤ 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина - Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза H₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные ги­потезы Н₁ и H* ₁ состоят, соответственно, в наличии положитель­ной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по спе­циальным таблицам (см. приложение) определяются критичес­кие значения критерия Дарбина - Уотсона d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каж­дой из гипотез с вероятностью (1 — α) рассматривается на рис. 2.

Рис. 2. Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

Если фактическое значение критерия Дарбина — Уотсона по­падает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H ₀. Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина -Уотсона. Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качест­ве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Для тестирования на ав­токорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина. Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дар­бина — Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорре­ляцию более высоких порядков следует применять другие методы, рассмотрение которых выходит за рамки данного учебника. В-третьих, критерий Дарбина — Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок. В этом смысле резуль­таты примера 6.4 нельзя считать достоверными ввиду чрезвычай­но малого числа наблюдений n = 7, по которым построена модель регрессии.