Общая схема исследования функции

1.Найти область определения функций.

2.Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3.Найти экстремумы функции.

4.Найти интервалы монотонности.

5.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

6.Найти асимптоты.

7.Найти множество значений функции

Пример 4. Исследовать функцию и построить ее график

Решение:

Будем по общей схеме исследовать функцию:

1. Очевидно, что , следовательно ООФ:

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

. Получили точки (- ; 0); (; 0)

. Получили точку

3. Определим экстремумы функции:

х = 1 – точка максимума (1; 2)

х= 3 – точка минимума (3; 6)

4. По полученной выше схеме заключаем, что

при функция возрастает;

при функция убывает.

5.

Вторая производная принимает положительные значения при и отрицательные при . Следовательно, при график функции имеет выпуклость вниз, а при график функции имеет выпуклость вверх.

Точка разделяет части графика разной выпуклости, но так как эта точка не принадлежит графику, то точкой перегиба она не является. Других точек, разделяющих части графика разной выпуклости нет. Значит, можно сделать вывод, что точек перегиба нет.

6. Исследуем функцию на асимптоты

Очевидно, что прямая – вертикальная асимптота графика функции.

- наклонная асимптота.

По найденным точкам построим график функции, а так же графики асимптот.

7. По графику видно, что функция принимает все значения на числовой оси, кроме интервала от максимума до минимума функции, то есть множество значений функции: .