Интервалы выпуклости и точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз (вверх) на интервале, если он расположен выше (ниже) любой касательной функции на этом интервале.

Точка графика функции, отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

ТЕОРЕМА: Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции на этом интервале имеет выпуклость вверх (вниз).

Пример 2. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

Решение:

Для нахождения интервалов выпуклости и точек перегиба необходимо найти вторую производную функции: ;

Приравняем вторую производную к нулю и решим получившееся уравнение:

Полученная точка разделит числовую ось на два интервала. Определим знаки второй производной на этих интервалах: ;

Так как точка принадлежит графику и при переходе через нее вторая производная меняет свой знак, то - точка перегиба графика функции.

На интервале вторая производная принимает отрицательные значения, значит, график функции имеет выпуклость вверх. Соответственно на интервале график функции имеет выпуклость вниз.