Задание №4.3

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

" Национальный исследовательский Томский политехнический университет"

Институт ЭНИН

Кафедра ЭСиЭ

Направление подготовки Электроэнергетика и электротехника

ОТЧЕТ

По комплексной практической работе

Задание №4.3

" Интерполяция функций и динамика нелинейных систем"

Вариант №27

Выполнил студент группы 5АМ52 ____________ Самарбеков Б.С.

(Подпись)

_____ _____________ 2015г.

(Дата сдачи отчета)

Отчет принят:

Преподаватель: ____________ Васильев А.С.

(Подпись)

_____ _____________ 2015г.

(дата проверки отчета)

Томск 2015г.

Легенда:

Нагрузкой управляемого источника переменного напряжения является трансформатор напряжения с тороидальным магнитопроводом. При включении трансформатора возникают переходные процессы, связанные с насыщением магнитопровода и приводящие к срабатыванию внутренней защиты источника напряжения по превышению тока. Требуется смоделировать переходный процесс тока и определить максимальное значение тока с целью последующей настройки внутренней защиты источника напряжения или принятия иных мер для обеспечения нормальной работы и источника и трансформатора. Включение трансформатора всегда производиться на холостом ходу, поэтому влияние вторичной обмотки можно пренебречь.

Характеристика электротехнической стали трансформатора задана таблично. Также известны геометрические размеры магнитного сердечника (длина средней линии l =15·10^-2 м, площадь поперечного сечения магнитопровода S =2·10^-4 м²) и параметры обмотки (сопротивление R =1 Ом и число витков катушки w=2000). Требуется выполнить моделирование катушки индуктивности с тороидальным магнитороводом и определить зависимость величины броска тока намагничивания от фазы напряжения в момент включения.

Таблица 1 – Исходные данные согласно варианту №27

1. Интерполяция кривой намагничивания и приведение её к виду H(B):

Интерполяция проводится кубическим полинномом для значений, находящихся между узлами кривой намагничивания заданными для материала. Так как для заданной кривой намагничивания отсутствуют данные об участке характеристики где проявляется насыщение магнитной системы, которые являются необходимыми при моделировании переходного процесса в первый момент времени, когда наблюдается бросок тока и следовательно, работа в области насыщения, то для обеспечения корректной работы алгоритма данный участок был задан искусственно.

Рисунок 1 – Интерполированная и исходная кривые намагничивания

В результате работы катушки на переменном токе необходимо учесть работу на отрицательной части характеристики магнитной системы, являющейся симметричной относительно начала координат:

Рисунок 2 – Полученная в результате интерполяции кривая намагничивания заданного материала

2. Моделирование переходного процесса при включении катушки индуктивности на переменное напряжение 220В частотой 50Гц.

Запишем дифференциальное уравнение равновесия электрической цепи:

где – потокосцепление катушки.

Приведем ДУ к нормальной форме Коши:

Решаем методом Эйлера:

1. Построение графиков переходного и установившегося процесса потокосцепления, тока, а также в одних осях координат тока, напряжения питания и производной потокосцепления.

Рисунок 6. График изменения потокосцепления в переходном процессе.

Рисунок 7. График изменения потокосцепления в установившемся режиме.

Рисунок 8. График изменения тока в переходном процессе.

Рисунок 9. График изменения тока в установившемся режиме.

м

Рисунок 10. График тока, напряжения питания и производной потокосцепления.

2. Построение зависимости максимальной амплитуды тока катушки от фазы напряжения в момент подключения трансформатора.

Рисунок 11. График зависимости максимальной амплитуды тока катушки от фазы напряжения.

Вывод: в данной работе был смоделирован процесс включения тороидального трансформатора на переменное напряжение с учетом характеристики намагничивания стали. Характеристика намагничивания, заданная узлами, была приведена непрерывной функции путем сплайн интерполяции кубическим полиномом. Данное моделирование было проведено на основе электромагнитной модели катушки, представляющей собой дифференциальное уравнение первого порядка, путем численного решения данного уравнения для заданных начальных условий методом Эйлера. Полученные зависимости исследуемых параметров потокосцепления и тока катушки качественно и количественно отражают физические процессы, происходящие в течении переходного процесса при включении и в течении установившегося режима. Зависимость амплитуды броска тока при включении катушки от фазы напряжения показывает что фаза оказывает значительное влияние на характер переходного процесса, при этом абсолютное значение броска тока намагничивания максимально при начальных фазах 0 и 180 градусов, при фазах 90 и 270 градусов переходный процесс отсутствует.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается интерполяция и какова последовательность ее реализации?

Интерполяция заключается в нахождении многочлена степени n, который совпадает с таблично заданной функцией в её узлах. Для интерполяции необходима таблично заданная функция, для которой нет совпадающих узлов. Затем, в зависимости от требований, выбирается соответствующий метод интерполяции, согласно которому проводят вычисления. Далее проводят проверку выполнения условия Лагранжа – совпадение значений начальной табличной функции и полученной в результате интерполяции.

2. В каких случаях интерполяция невозможна?

Интерполяция не возможно, когда существуют разрывы в точках таблично заданной интерполируемой функции.

3. Какова максимальная степень интерполирующего полинома, если количество узлов интерполяции равно 7?

Интерполирующий полином будет n= 7 – 1 = 6 степени, при условии что уравнения составленные для данного полинома являются линейно независимыми.

4. При интерполяции различными методами будет ли полученный результат одинаковый или нет и почему?

При интерполяции полиномами получается одинаковый результат, так как они представляют собой различные записи решения одной системы уравнений, составленной по заданным узлам. При использовании, например, сплайн-интерполяции, результаты могут отличаться, так как интерполяционные выражения отличаются.

5. Дайте определение численным методам решения дифференциальных уравнений.

Численные методы решения дифференциальных уравнений представляют собой алгоритмы для вычисления частных решений дифференциальных уравнений путем последовательного приближения для заданных аргументов.

6. В чем отличие численных методов решения дифференциальных уравнений?

Основным отличием численных методов решения дифференциальных уравнений является учет либо не учет значений для текущего шага итерации в итерируемой функции, что разделяет численные методы на неявные и явные соответственно. Так же различается порядок методов, в случае методов Рунге-Кутта, определяющий используемое количество членов ряда разложения функции по производным, влияющее на точность и сходимость решения.