Пример расчета. В табл. 23 представлены результаты экспериментальных исследований процесса получения гальванических покрытий

В табл. 23 представлены результаты экспериментальных исследований процесса получения гальванических покрытий. Необходимо выяснить каким образом влияют на внутренние напряжения получаемых покрытий (выраженные в условных единицах) условия электроосаждения.

Таблица 23

С этой целью определим параметры уравнения линейной регрессии и проведем его анализ, используя режим работы Регрессия.

Значения параметров, установленных в одноименном диалоговом окне, показаны на рис. 13, а рассчитанные в данном режиме показатели – в табл. 24-28.

Рис. 13

В табл. 24 сгенерированы результаты по регрессионной статистике.

Таблица 24

Эти результаты соответствуют следующим статистическим показателям:

- Множественный R – коэффициенту корреляции R;

- R-квадрат – коэффициенту детерминации R ²;

- Стандартная ошибка – остаточному стандартному отклонению ;

- Наблюдения – числу наблюдений n.

В табл. 25 сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются для проверки значимости коэффициента детерминации R ².

Таблица 25

Столбцы табл. 25 имеют следующую интерпретацию:

- столбец df – число степеней свободы

для строки Регрессия число степеней свободы определяется количеством факторных признаков m в уравнении регрессии k_ф = m;

для строки Остаток число степеней свободы определяется числом наблюдений n и количеством переменных в уравнении регрессии m +1: k_о = n -(m +1 );

для строки Итого число степеней свободы определяется суммой k_y = k_ф + k_о;

- столбец SS – сумма квадратов отклонений

для строки Регрессия – это сумма квадратов отклонений теоретических данных от среднего ;

для строки Остаток – это сумма квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических ;

для строки Итого – это сумма квадратов отклонений эмпирических данных от среднего или ;

- столбец MS – дисперсии, рассчитанные по формуле ,

для строки Регрессия – это факторная дисперсия ;

для строки Остаток – это остаточная дисперсия ;

- столбец F – расчетное значение F -критерия Фишера F_р, вычисляемое по формуле ;

- столбец Значимость F – значение уровня значимости, соответствующее вычисленному значению F_р. Определяется с помощью функции .

В табл. 26 сгенерированы значения коэффициентов регрессии a_i и их статистические оценки.

Таблица 26

Столбцы табл. 26 имеют следующую интерпретацию:

- столбец Коэффициенты – значения коэффициентов а_i;

- столбец Стандартная ошибка – стандартные ошибки коэффициентов а_i;

- столбец t-статистика – расчетные значения t -критерия, вычисляемые по формуле ;

- столбец P-Значение – значения уровней значимости, соответствующие вычисленным значениям t_р;

- столбцы Нижние 95 % и Верхние 95 % - соответственно нижние и верхние границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии а_i. Для нахождения границ доверительных интервалов с помощью функции =СТЬЮДРАСПОБР(a; n - m -1) рассчитывается критическое значение t -критерия t_кр, а затем по формулам:

Нижние 95 % = Коэффициент – Стандартная ошибка × t_кр;

Верхние 95 % = Коэффициент + Стандартная ошибка × t_кр

вычисляются соответственно нижние и верхние границы доверительных интервалов.

В табл. 27 сгенерированы теоретические значения результативного признака Y и значения остатков. Последние вычисляются как разность между эмпирическими y и теоретическими значениями результативного признака Y.

Таблица 27

Перейдем к анализу сгенерированных таблиц.

Рассчитанные в табл. 26 (ячейки С28: С31) коэффициенты регрессии а_i позволяют построить уравнение, выражающее зависимость внутреннего напряжения покрытия от концентрации сахарина в растворе X ₁, плотности тока X ₂ и температуры раствора X ₃:

.

Значение множественного коэффициента детерминации R ² = 0, 971 (ячейка С16 в табл. 24) показывает, что 97, 1 % общей вариации результативного признака объясняется вариацией факторных признаков X ₁, X ₂ и X ₃, что подтверждает правильность их включения в построенную модель.

Рассчитанный уровень значимости (показатель Значимость F табл. 25) a_р = 0, 0015 меньше a = 0, 05, что подтверждает значимость R ².

Другой подход к проверке значимости R ² основан на проверке попадания F_р (показатель F в табл. 25) в критическую область (F^пр_{кр , a}; +¥). Для рассматриваемого примера F^пр_{кр , a} рассчитывается по формуле =FРАСПОБР(0, 05; С23; С24) (ячейка Н23 табл. 28),

Таблица 28

где в ячейке С23 рассчитывается значение k_ф = m; в ячейке С24 – значение k_о = n -(m +1 ).

Т.к. F_р = 45, 287 попадает в критический интервал (6, 591; +¥), то гипотеза Н ₀: R ² = 0 отвергается, т.е. коэффициент детерминации R ² является значимым.

Показатель средней ошибки аппроксимации может быть рассчитан следующим образом (табл. 29):

=СУММ(АВS(D38: D45)/(B3: B10))/СЧЕТ(B3: B10)*100.

Таблица 29

	G
	, %
	12, 46

Следующим этапом является проверка значимости коэффициентов регрессии: а ₀, а ₁, а ₂ и а ₃. Сравнивая попарно элементы массивов C28: C31 и D28: D31 (табл. 26) видим, что абсолютное значение коэффициента а ₁ меньше, чем его стандартная ошибка. О значимости коэффициентов можно судить по значениям показателя P-Значение в табл. 26. Для коэффициента а ₁ это значение, равное 0, 9458, существенно больше принятого уровня значимости a =0, 05, следовательно данный коэффициент незначимый и его следует исключить из уравнения.

Другой распространенный способ проверки значимости коэффициентов регрессии основан на проверке попадания t_р (показатель t-статистика в табл. 26) в критическую область

(-¥; t^кр_{лев , a / 2}) È (t^кр_{пр, a / 2}; +¥). В генерируемых таблицах режима не приводится значение t_кр, но его можно вычислить с помощью функции СТЬДРАСПОБР. Для рассматриваемого примера значение | t_кр | рассчитано в ячейке Е34 (табл. 30) по формуле

=СТЬДРАСПОБР(0, 05; 8-3-1),

где 0, 05 – заданный уровень значимости; 8 – число наблюдений; 3 – число факторов в уравнении регрессии; 1 – число свободных членов в уравнении регрессии.

Таблица 30

В критический интервал (-¥; -2, 776) È (2, 776; +¥) попадают значения t_кр^а2 = -7, 822 и t_кр^а3 = 5, 062, следовательно, коэффициенты регрессии а ₂ и а ₃ являются значимыми.

Подводя итог предварительному анализу уравнения регрессии, можно сделать вывод, что коэффициент регрессии а ₁ не является статистически значимым и целесообразно сделать пересчет без учета фактора x ₁ – Концентрация сахарина в растворе.

После пересчета уравнения на рабочем листе генерируются таблицы, аналогичные табл. 24-27.

Таблица 31

Таблица 32

Таблица 33

Окончание табл. 33

Таким образом, получено новое уравнение регрессии:

.

Проверка значимости коэффициента детерминации R ² (a_р = 0, 000139 < 0, 05) и коэффициентов регрессии а ₂ и а ₃ (| t_кр | =2, 5706) подтверждают адекватность полученного уравнения.