Волновое уравнение струны и его решение

Лабораторная работа № 9

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Цель работы: Изучение собственных колебаний струны, экспериментальное определение зависимости собственных частот струны от силы ее натяжения.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ СТРУНЫ И ЕГО РЕШЕНИЕ

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Для струны, вытянутой вдоль оси х, отдельные точки которой совершают колебания вдоль оси у, это уравнение имеет вид:

(1)

где u - скорость распространения волны (фазовая скорость).

Это уравнение можно получить из второго закона Ньютона, записанного для произвольного, достаточно малого элемента струны, показанного на рис 1.

Рис.1

Уравнение получим в предположении малости углов прогиба струны α. При малых углах α длину рассматриваемого элемента можно считать равной Δ х, а массу Δ m равной γ Δ х, где γ - линейная плотность струны. Этот элемент совершает колебания вдоль оси у. В этом направлении на элемент струны действует сила, равная

Эта сила вызывает ускорение

откуда следует волновое уравнение

(2)

Из сравнения уравнений (1) и (2) следует, что фазовая скорость волны, распространяющейся вдоль струны

(3)

Любая функция, удовлетворяющая уравнению (1) описывает некоторую волну. Вдоль бесконечно длинной струны могут распространяться гармонические волны, описываемые уравнением

(4)

если волна распространяется вдоль оси х в положительном направлении, и уравнением

(5)

если волна распространяется в отрицательном направлении, где волновое число выражается через длину волны. В том, что выражения (4) и (5) являются решением волнового уравнения (1) можно убедиться подстановкой этих выражений в волновое уравнение. Частота колебаний ω при этом может иметь любое значение. Эта частота определяется частотой источника, возбуждающего колебания струны.

Уравнение, представляющее собой сумму выражений для встречных волн (4) и (5)

также является решением волнового уравнения. Это выражение можно привести к виду

(6)

Волна, описываемая таким уравнением, называется стоячей волной. В каждой точке стоячей волны колебания происходят с той же частотой, что и у встречных волн. Амплитуда колебаний зависит от координаты х:

(7)

Для струны конечной длины с закрепленными концами амплитуда результирующего колебания на концах струны должна равняться нулю. Если начало струны находится в точке с координатой х = 0, то амплитуда в этой точке будет равна нулю в том случае, когда α = π. Выражение (7) при этом будет иметь вид:

(8)

На конце струны, в точке с координатой х = L, где L - длина струны, амплитуда так же должна равняться нулю. Для этого должно выполняться условие

(n = 1, 2, 3...)

Из последнего выражения следует, что стоячие волны в струне могут существовать только на таких частотах ν _n, для которых длина волны

(n = 1, 2, 3...) (9)

Частота колебаний связана с длиной волны соотношением ν = u /λ, где u - фазовая скорость волны. Тогда, с учетом выражения (3), частоты ν _n могут быть определены по формуле

(n = 1, 2, 3...) (10)

В теории колебаний эти частоты называют гармониками (первая гармоника, вторая гармоника и т. д.) В музыкальной акустике первую гармонику называют основным тоном. Гармоники более высоких порядков называют обертонами. Частоты ν _n называют также собственными частотами колебаний струны.

Зависимость амплитуды колебаний А от координаты х для различных номеров гармоник n может быть представлена выражением

(11)

или с учетом соотношения (9) выражением

(12)

Из выражения (12) следует, что амплитуда равна нулю в тех точках струны, для которых n(x/L) принимает целочисленное или нулевое значение. Так для первой гармоники таких точек две, с координатами х = 0 и х = L, т.е. на концах струны. Для второй гармоники таких точек три: на концах струны и в точке x = (1/2) L, т.е. в средине струны. Для третьей гармоники - четыре точки: на концах струны и в точках с координатами x = (1/3) L и x = (2/3) L.

Точки, амплитуды колебаний в которых равны нулю, называют узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами λ _ст называют длиной стоячей волны. Из выражения (11) следует, что минимальное расстояние между узлами равно половине длины бегущей волны. Следовательно,

На длине струны укладывается целое число полуволн бегущей волны, и соответственно целое число длин волн стоячей волны, численно равное номеру гармоники n. Точки, в которых амплитуда достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны. Число пучностей, укладывающихся на длине струны также равно n.

На рис. 2 показана зависимость смещения точек струны у от координаты х на частоте второй гармоники для трех моментов времени: t ₁ = 0 (кривая 1); t ₂ = T /8, где Т - период колебаний (кривая 2); t ₃ = T /4 (кривая 3).

Рис.2

Видно, что точки струны между соседними узлами движутся в одинаковой фазе. Однако точки струны, расположенные по разные стороны узла на расстоянии, меньшем λ /2 движутся в противофазе.

Рассмотрим теперь способы возбуждения стоячих волн на струнах. В большинстве струнных музыкальных инструментов для этого используется либо удар по струне специальным молоточком (рояль, пианино), либо рывок (гитара и другие щипковые инструменты). Во всех этих случаях зависимость возбуждающей силы от времени не является гармонической, а имеет вид кратковременного импульса. Однако любой кратковременный импульс можно представить как сумму бесконечно большого числа гармонических функций в бесконечно большом диапазоне частот. Те составляющие, частоты которых совпадают с частотами, определяемыми формулой (10), возбуждают стоячие волны. Одновременно возбуждаются как основной тон, так и все его обертоны. Самую большую интенсивность имеет звук основного тона. На обертоны приходится лишь незначительная доля энергии. Соотношение между интенсивностями основного тона и каждого из обертонов определяет тембр звука. Это соотношение для разных инструментов разное. Поэтому разные инструменты, настроенные на одну и ту же частоту основного тона звучат по разному.