Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Отношение логического следования.
|
|
Определение. Формулы некоторого множества G1 являются совместимыми по истинности в S1, если и только если для S1 существует такая интерпретация нелогических символов, входящих в состав указанных формул, при которой каждая формула из G принимает значение «истина». В противном случае формулы будут несовместимыми по истинности.
Определение. Формулы из множества G являются совместимыми по ложности в S1, если и только если для S1 существует такая интерпретация нелогических символов, входящих в состав указанных формул, при которой каждая формула из Г принимает значение «ложь». В противном случае формулы будут несовместимыми по ложности.
Наиболее важным является отношение логического следования.
Определение. Из множества формул G логически следует формула A в S1, если и только если для S1 не существует интерпретации нелогических символов, входящих в G и в A, при которой каждая формула із G принимает значение «истина», а формула A – значение «ложь». В противном случае A не следует из Г.
Утверждение «ИзГ следует A»з аписывается так:
Г |= В.
Чтобы лучше понть логические отношения между формулами в S1, обратимся к примерам.
Возьмем формулы p Ú q, q É r, p Ú r и построим для них общую таблицу истинности, чтобы рассмотреть названные логические отношения:
| p | q | r | р Ú q | q É r | р Ú r |
| и | и | и | и | и | и |
| и | и | л | и | л | и |
| и | л | и | и | и | и |
| и | л | л | и | и | и |
| л | и | и | и | и | и |
| л | и | л | и | л | л |
| л | л | и | л | и | и |
| л | л | л | л | и | л |
Рассмотрим, какие логические отношения имеют место между приведенными формулами. Критериями совместимости по истинности, ложности и логического следования будут приведенные выше определения.
Если в общей таблице истинности найдется по крайней мере одна строка, в которой каждая формула принимает значение «и», то данные формулы будут считаться совместимыми по истинности. Таковы строки 1, 3, 4, 5.
Если в общей таблице найдется по крайней мере одна строка, в которой каждая формула принимает значение «л», то данные формулы будут считаться совместимыми по ложности. Таких строк в таблице нет, поэтому данные формулы несовместимы по ложности.
Если в построенной таблице отсутствует строка, в которой формулы А1, А2,... Аn истинны, а формула В – ложна, то А1, А2,... Аn |= В.
Формула p Ú rлогически следует из формул p Ú q, q É r, поскольку таблице истинности нет такой строки, в которой формулы p Ú q и q É r принимали бы значение «и», а формула p Ú r - значение «л». Это записывается следующим образом:
p Ú q, q É r |= p Ú r.
Формула p Ú qне следует логически из формулq É r и p Ú r, поскольку в седьмой строке приведенной таблицы истинности формулы q É r и p Ú r истинны, а формула p Ú q – ложна. Это записывается следующим образом:
q É r, p Ú r Ø |= p Ú q.
Таким способом можно рассматривать логические отношения между любыми формулами в системе S1.
|
|