Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Д) Силлогистика и метод аналитических таблиц.
|
|
Кроме приведенных способов доказательства правильности модусов простого категорического силлогизма, применяют еще и метод аналитических таблиц. Особенно этот метод становится эффективным при переводе силлогистики на язык логики предикатов. Дело в том, что существует важное отличие аристотелевской силлогистики от классической логики предикатов. В последней допускаются предикаты, объем которых не содержит ни одного элемента (то есть представляет пустое множество). Силлогистика же не предусматривает существования пустых терминов. Поэтому не всякое выражение логики предикатов, претендующее на выражение правильного модуса силлогистики, будет общезначимым.
Чтобы применить метод аналитических таблиц для проверки правильности модусов силлогистики, сформулированных в язые логики предикатов, необходимо в дополнение к аналитическим правилам для логических терминов, используемых в логике высказываний, ввести по два аналитических правила для каждого квантора:
(Т) " х Р(х), (F) " x P(x), (T) $x P(x), (F) $x P(x)
(T) P(a) (F) P(b) (Т) Р(b) (F) Р(а)
В приведенных правилах в роли переменных квантификации фигурируют а и b. Они отличаются тем, что переменная «а» является неограниченной переменной, а переменная «b» - ограниченной.
Данное обстоятельство оказывает определенное внимание на употребление аналитических правил для кванторов. Имеется в виду, что при применении правил (Т") и (F$) используется буква а, означающая произвольную предметную переменную. А при применении правил
(F") и (Т$) переменная b означает такую предметную переменную, которая не встречается ни в одной формуле ветви таблицы, в которой применяется данное правило. (Разумеется, если переменная b уже встречалась ранее в ветви таблицы, то вводится новая ограниченнаяпеременная c и т.д.).
Правила (Т") и (F$) дают возможность подставлять произвольную переменную, но целесообразно подставлять те переменные, которые сделают аналитическую таблицу замкнутой. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Установим методом аналитических таблиц тождественную истинность (общезначимость) выражения $x " y A (x, y) É " y $x A (x, y).
Доказательство:
0. (F) $x " y A (x, y) É " y $x A (x, y)
I 1. (T) $x " y A(x, y)
_____ 2. (F) " y $x A(x, y) (FÉ) к 0
II 3.(T) " y A(в, y) (T$) к 1
Ш 4. (F) $x A(x, c) (F") к 2
ІУ 5. (T) A(в, c) (T") к 3
У 6. (F) A(в, c)______________ (F$) к 4
+
На первом шаге доказательства мы получили формулы 1, 2 применив правило (FÉ), на втором шаге мы применили правило (Т$), где вместо х подставили переменную с ограничением b. На третьем шаге правило (Т$) также требует введения ограниченной переменной, а поскольку переменная b уже использовалась, то вводим переменную с.
На четвертом и пятом шагах, в соответствии с правилами (Т") и (F$), имеем право использовать произвольные переменные, но используем те, которые приводят к замыканию таблицы.
После общих замечаний по поводу использования метода аналитических таблиц перейдем к проверке корректности умозаключений, переведенных на язык классической логики предикатов. Проверим для начала правильность непосредственного умозаключения, основанного на отношении подчинения: " x (S(x) É P(x)) É $x (S(x) & P(x). Построим для данного выражения аналитическую таблицу:
0. (F) " x (S(x) É P(x)) É $x (S(x) & P(x))
I 1. (T) " x (S(x) É P(x))
____ 2. (F) $x (S(x) & P(x)) (FÉ) к 0
II 3. (T) S(a) É P(a) (T") к 1
Ш 4. (F) S(a) & P(а) (F$) к 2
ІУ 5. (F) S(a) ½ 5'.(T) P(a) (TÉ) к 3_______
У 6. (F) S(a)½ 6'.(F) P(a)½ 6''.(F) S(a)½ 6'''.(F) P(a) (F&) к4
- - - +
Таким образом, аналитическая таблица не замкнута, и это говорит о том, что правильное умозаключение традиционной логики может оказаться некорректным при, казалось бы, интуитивно приемлемом переводе его в логику предикатов.
Применим метод аналитических таблиц для проверки логической корректности модусов категорического силлогизма.
В качестве примеров возьмем модус «Cesare» второй фигуры и модус «Fesapo» четвертой фигуры. Начнем с модуса «Cesare»:
0. (F) [" x (Px) É Ø M(x)) & " x (S(x) É M(x))] É " x (S(x) É Ø P(x))
I. 1. (T) [" x (P(x) É Ø M(x)) & " x (S(x) É M(x))]
____ 2. (F) " x (S(x) É Ø P(x)) (FÉ) к 0
П. 3. T " x (P(x) É Ø M(x))
____ 4. (T) " x (S(x) É M(x)) (T&) к 1
Ш. 5. (F) (S(в) É Ø P(в)) (F") к 2
ІУ. 6. (T) S(в)
____ 7. (F) Ø P(в) (FÉ к 5
У. 8. (T) P(в) (FØ) к 7
УІ. 9. (T) (P(в) É Ø M(в)) (T") к 3
УП. 10. (T) (S(в) É М(в)) Ø (Т") к 4
УШ. 11. (F) P(в) ½ 11'.(Т) Ø М(в) (ТÉ) к 9
ІХ. 12. + ½ 12¢.(F) S(в) ½ 12¢ ¢.(Т) М(в) (ТÉ) к. 10
+ ½ 13¢.(F) M(в) ½ 13¢ ¢.(F) M(в) (ТØ) к 11
+ +
Сделаем необходимые пояснения. Шаги 1, 2, 3, 4 сделаны с применением аналитических правил (FÉ) и (T&). Правило (F"), примененное к 2, дало возможность получить выражение 5, заменив х на в. При применении правила (Т") (шаги 9, 10) мы вновь вместо х подставляем в. Это обусловлено тем, что правило (Т") позволяет вместо х подставлять произвольную переменную, и мы выбираем ту, которая делает нашу таблицу замкнутой. Выражения 11-13 мы получаем, применяя аналитические правила (ТÉ) и (ТØ).
В итоге мы получем замкнутую таблицу. Таким образом, формула 0, вопреки нашему предположению, является тождественно истинной (общезначимой), а модус «Cesare», который она представляет, является логически правильным.
Построим таким же путем аналитическую таблицу для модуса «Fesapo»:
0. (F) [" x (P(x) É Ø M(x)) & " x (Mx) É S(x))] É $x (S(x) & Ø (x))
I. 1. (T) " x (P(x) É Ø M(x)) & " x (M(x) É S(x)))
____ 2. (F) $x (S(x) & Ø P(x)) (FÉ) к 0
II. 3. (T) " x (P(x) É Ø M(x))
___ _ 4. (T) " x (M(x) É S(x)) (T&) к 1
Ш. 5. (Т) (Р(а) É Ø М(а)) (Т") к 3
ІУ. 6. (Т) (М(а) É S(a)) (T") к 4
У. 7. (F) (S(a) & P(a)) (F$) к 2
УІ. 8.(F) P(a)½ 8'.T Ø M(a)______ (TÉ) к 5
УП. 9. (F) M(a)½ 9'.(T)S(a) ½ 9''.(F)M(a) ½ 9'''.(T)S(a) (T É) к 6
УШ. 10.(F)S(a)½ 10'.(F)Р(a)½ 10¢ ¢.(F)S(a)½ 10Ш.(F) P(a)½ 10ІУ. (F)S(a)½ 10У.(F) P(a)½ 10УІ.(F)S(a)
10УП.(F_ P(a) (F&) к 7
- - + - - - + -
1 2 3 4 5 6 7 8
Таким образом, аналитическая таблица для модуса «Fesapo» незамкнута, что свидетельствует о неадекватности нашей записи правилам логики предикатов[16].
Застосовуючи метод аналітичних таблиць, ми можемо перевірити чи всі висновки силогістики являються логічно коректними чи ні.
|
|