Математическая модель гонки вооружений

Математическая модель гонки вооружений предложена английским математиком Льюисом Ф. Ричардсоном в 20-ые годы ХХ века. Идеология, заложенная в модель на удивление проста: гонка вооружений происходит потому, что государства боятся вооружений, имеющихся у других государств, и военные расходы ограничены стоимостью вооружений.

Математически это означает:

· чем большим количеством вооружений располагает государство У, тем больше вооружений захочет приобрести государство Х;

· чем большим количеством вооружений обладает Х, тем меньше дополнительных вооружений оно может приобрести из-за существующего бремени военных расходов и ограниченности бюджета.

Вот как выглядит математическое описание военных расходов государств Х и У в предстоящем (t+1) году

X(t+1) = k Y(t) – a X(t) + g

Y(t+1) = m X(t) –b Y(t) +h

где k, a, m и b – положительные величины,

g и h – положительные, если отношения между странами враждебны, и отрицательные, если отношения дружелюбные.

Для применения этой модели к анализу вооружений какой либо пары государств или блоков необходимо знать реальные данные военные расходы этих двух стран минимум за 4 года. В этом случае мы будем иметь две системы из трех алгебраических линейных уравнений с неизвестными k, a, m, b, g и h.

X₁ = k Yo – a Xo + g Y₁ = m Xo – b Yo + h

X₂ = k Y₁ – a X₁ + g Y₂ = m X₁ – b Y₁ + h

X₃ = k Y₂ – a X₂ + g Y₃ = m X₂ – b Y₂ + h

Системы из трех линейных уравнений решаются методом Крамера. Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главные определители систем, назовем их Dx и Dy, и трех вспомогательных определителей, которые получаются из главных определителей заменой i-го столбца (i=1, 2, 3) столбцом свободных членов.

X₁ = k Yo – a Xo + g Y₁ = m Xo – b Yo + h

X₂ = k Y₁ – a X₁ + g Y₂ = m X₁ – b Y₁ + h

X₃ = k Y₂ – a X₂ + g Y₃ = m X₂ – b Y₂ + h

Cистема имеет единственное решение, если главный определитель системы отличен от нуля, оно определяется по формулам:

Если главный определитель системы и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы равен нулю, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Ниже приведены результата реализации модели Ричардсона для двух условных государств. В таблице 1 содержатся данные для расчета неизвестных коэффициентов (моменты времени t = 0, 1, 2, 3) и расчетные данные модели дальнейших военных бюджетов (точки t=4, 5, 6)

Таблица 1