Площадь поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, полученную вращением вокруг оси ОХ дуги АВ, описываемой уравнением y=f(x) на интервале [a, b]. Разобьем, как мы это уже неоднократно проделывали, интервал [a, b] на n частей, восставим в точках деления перпендикуляры к оси ОХ и куски дуг Ds заменим прямыми отрезками, соединяющими концы дуг. Площадь поверхности вращения есть предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной линии, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины звеньев стремятся к нулю. В этом определении мы, как обычно, пользуемся эквивалентностью длины дуги и хорды (когда длина дуги мала). Для одной узкой полоски поверхности, площадь вычисляется по формуле: DS_i~2pyds, где – длина i-го звена ломаной (рис. 9). Из этого соотношения можно непосредственно вывести формулу для вычисления площади поверхности вращения:

Если поверхность образована вращением кривой вокруг оси OY, то все рассуждения сохраняются, но х и у меняются местами: DS_i~2p х ds и переменной интегрирования будет у (рис. 10): Например, вычислим площадь поверхности шара (рис.11). В полярных координатах формула поверхности фигуры выглядит следующим образом: , и для шара R(j)=Rcosj. Следовательно:

.

Найдем площадь поверхности маковки, образованной вращением вокруг оси OY дуг окружностей. Рассмотрим два варианта.

1. Маковка состоит из сегмента высоты h шара радиуса R и, начиная с 60-ой параллели, - поверхности вращения дуги окружности того же радиуса R вокруг вертикали. Сопряжение дуг гладкое, они имеют общую касательную (рис. 12а).

Площадь сферической части маковки S₁ ищется по известной формуле площади сегмента шара: S₁=2pRh. Площадь верхней части маковки S₂ – площадь поверхности вращения дуги окружности вокруг оси OY. С дугами окружности проще работать в полярной системе координат. Возьмем в качестве переменной интегрирования угол j (рис. 12б) и применим те же рассуждения.

Выпишем, чему равна боковая поверхность узкой цилиндрической полоски. Величина радиуса цилиндра равна R-Rcosj=R(1-cosj). Величина образующей ds=Rdj. Следовательно,

В нашем конкретном случае точке перегиба, до которой мы интегрируем, соответствует значение j₀=60°=p/3 (силуэт верхней части маковки состоит из 2-х дуг окружности, центральный угол которых равен 60°).

S=S₁+S₂=2pRh+2pR²(p/3-sinp/3)=2pRh+2pR²(p/3- =2pRh+2pR²× 0, 18

Для шлема вместо слагаемого 2pR²× 0, 18 по формуле S₂=2pRh получается величина:

2pR²(1- =2pR²× 0, 13, то есть на вогнутую верхушку маковки идет материала (" золота") на 38, 5% больше (0, 05: 0, 13=0, 385)

2. Маковка с раздвинутыми боками (рис. 13а).

Для того чтобы найти поверхность такой маковки, выпишем формулу для вычисления поверхности вращения выпуклой дуги окружности, центр которой находится на расстоянии а от оси вращения. Такая поверхность не будет частью сферы. Это часть тора. Самый простой пример тора – хорошо всем известный бублик. Лежащий горизонтально бублик получается вращением вокруг вертикальной оси целой окружности. Если вращать не всю окружность, а только некоторую дугу окружности, то получится часть поверхности тора. Как видно из чертежа 13б величина радиуса узкого цилиндра, боковая поверхность которого нас интересует, равна а +Rcosj. Длина образующей ds=Rdj. Следовательно,

Для j₀=60°=p/3 S₂=2pRa× p/3+

Ответы к задачам