Кривизна дуги

Важным понятием является кривизна дуги.

Точное определение кривизны K следующее. Возьмем на кривой две точки – M и N. Проведем касательные к кривой в этих точках и рассмотрим предел отношения угла смежности d между положительными направлениями касательных к длине дуги MN, когда дуга MN®0 (рис. 27). Абсолютную величину этого предела называют кривизной кривой в точке М.

Кривизна линии y=f(x) вычисляется по формуле:

Заметим, что в отличие от первой и второй производной кривизна зависит только от формы графика и не зависит от системы координат. В силу этого кривизна является очень важным понятием при изучении формы кривой. Радиусом кривизны R в точке М называют величину, обратную кривизне: . Центр кривизны находится на нормали к кривой в направлении ее вогнутости на расстоянии R от точки М.

Понять, что такое кривизна, помогают следующие простые примеры.

1.Кривизна прямой равна 0.

2.Кривизна во всех точках окружности радиуса R одинаковая, она равна . Центром кривизны окружности является центр окружности.

Таким образом, прямую можно рассматривать, как окружность бесконечного радиуса.

Чем больше искривлена кривая вблизи данной точки, тем больше кривизна K и меньше радиус кривизны R в этой точке.

Окружность, описанная из центра кривизны С радиусом R=MC, называется соприкасающейся окружностью или кругом кривизны линии L для точки М (рис. 28а). Линия L может располагаться в окрестности точки М как внутри круга кривизны (рис. 28б), так и вне него (рис. 28в). Первый случай имеет место, например, для конца малой оси эллипса, второй – для конца большой его оси. Если при сопряжении двух линий, производные справа и слева в точке сопряжения неодинаковые, производная терпит разрыв, сопряжение получается, как мы уже говорили, негладкое и на графике виден излом. Если при сопряжении двух линий их первые производные в точке сопряжения совпадают, но не совпадают вторые производные, то будет иметь место разрыв кривизны. В ряде задач необходимо обеспечить непрерывность кривизны. Например. Если поворот железной дороги спроектирован как сопряжение прямой и окружности радиуса R (рис. 29), то центростремительное ускорение, равное v²/R, будет в точке сопряжения меняться скачком. Рельсы при этом будут расшатываться. Поэтому, вместо окружности лучше использовать параболу. Например, дорогу можно описать уравнением: y=0 при x< 0, у=kx³ при х³ 0. Для параболы y=kx³ y''=6kx и кривизна при увеличении х сначала постепенно нарастает от нуля до величины, зависящей от коэффициента k, затем начинает убывать. Это позволяет сгладить поворот (на практике закругление железной дороги делают по так называемой клофоиде, по лемнискате Бернулии, из нескольких дуг и т.д.). Чем больше производных совпадает при сопряжении, тем выше уровень гладкости сопряжения.

В архитектуре при сопряжении дуги с прямой часто используют вспомогательные (переходные) дуги. Например, если сечение свода полуокружность, то переход вертикалей в дугу смягчают, создавая многоцентровой свод. На рисунке 30 приведен пример " византийского" многоцентрового свода, на рисунке 31 - применяемого на Руси так называемого " крутопятого" свода (примеры взяты из журнала " Реставратор", 2001г., №1).

На рисунке 32 приведены графики величины радиуса кривизны, (сама линия дана сплошной чертой, график радиуса кривизны - штриховой). Второй чертеж демонстрирует метод сглаживания кривизны.

Эволютой данной кривой называется кривая, состоящая из центров кривизны для всех точек данной кривой. Эволюта прямой состоит из одной бесконечно удаленной точки. Так что в первом примере эволюта состоит из бесконечно удаленной точки и центра дуги окружности О. Во втором примере, кроме бесконечно удаленной точки, центров кривизны уже 2 - О₁ и О₂. В последнем примере эволюта состоит из 2-х точек - О₁ и О₂. У кривых, обладающих гладкой кривизной, эволюта - это линия.

На рисунке 33 приведен график эволюты эллипса. Этот график позволяет понять, чем отличается овал, имитирующий эллипс, имеющий 4 центра кривизны (на рис. 33 они отмечены жирными точками – см. рис. 5 гл.9), от настоящего эллипса.