Примеры

1. у=х³, y'=3x². Точка, в которой y '=0 только одна, х =0. Производная – парабола, в окрестности точки х=0 положительна, знака не меняет, следовательно, точка х =0 не является точкой экстремума (рис. 22). Так как производная положительна на всей прямой, функция у=х³ монотонно возрастает на всей прямой.

2. y =cosx, y '=-sinx. Возможными точками экстремумов являются все точки, в которых sin x =0 (х =±kp, k=0, 1, 2, 3, …). И во всех таких точках производная меняет знак, то есть они все являются точками локальных экстремумов (рис. 23).

С помощью нахождения экстремума функции решаются многие задачи, имеющие важное значение на практике и, конечно, в архитектуре.

В качестве примера рассмотрим решение некоторых задач по определению оптимальных размеров фигур в пространстве и на плоскости.

Задачи

1. Из всех прямоугольников данной площади S определить тот, периметр которого наименьший (то есть для заданной площади найти форму прямоугольника, требующую минимальных затрат на стены).

Ответ. Наименьший периметр имеет квадрат.

2. Из круглого бревна диаметра d вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, стороны которого равны b и h. При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность пропорциональна bh² (горизонтальная сторона равна b, вертикальная h)?

Ответ. Сечение балки – нормальный прямоугольник (это знали еще древние мастера). Для того чтобы сделать разметку на бревне, надо вырезать из доски " нормальный" прямоугольник, распилить его по диагонали и приложить получившийся треугольник к торцу бревна так, чтобы вершина острого угла лежала на окружности торца, а гипотенуза треугольника шла вдоль диагонали торца бревна.

3. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен V?

Ответ. Высота цилиндра h равна его радиусу r (такие пропорции имеет Римский Пантеон).

4. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность (то есть для данного объема найти форму консервной банки, ведра с крышкой и т.д., для которых расход материала будет минимальным).

Ответ. Оптимальные размеры имеет банка, у которой высота равна диаметру.

Приведем решения этих задач.