Изменение уравнения линии при изменении системы координат

1. Сдвиг. При переносе всех точек графика вдоль оси ОХ на величину а и вдоль оси OY на величину b вид графика сохраняется, а значение координат всех точек увеличивается на а и b, соответственно. Следовательно, чтобы уравнение задавало прежнюю форму кривой, необходимо в уравнении компенсировать изменение значений координат соответствующим образом. Например. Пусть центр окружности находится в начале координат. Тогда уравнение окружности имеет вид: х²+у²=R². Перенесем окружность так, что ее центр попадет в точку с координатами С(a, b). Уравнение окружности станет таким: (x-a)²+(y-b)²=R². Из увеличившегося значения координаты мы вычли величину, на которую изменили координату. Координату х мы уменьшили на а, а координату у на b.

Так как все рассуждения применимы не только к графику функции, а вообще ко всем точкам пространства, эту операцию сдвига можно описать, как переход к новым переменным: u и v. При этом старые и новые переменные связаны соотношениями:

x-a=u, x=u+a,

y-b=v, y=v+b

В системе координат (U, V) центр окружности будет располагаться в начале координат, и уравнение нашей окружности: u²+v²=R². Таким образом, с помощью сдвига системы координат мы привели уравнение линии к более простому виду.

На рисунке 13 показано определение координат произвольной точки М в старой и новой системе координат. Вид графика при сдвиге системы координат не меняется (рис. 14). Сдвиг сохраняет длины отрезков и углы между прямыми

На рисунках 16, 17 и 18 представлены 3 этапа построения графика функции 2sin2x. Сначала строится график функции y=sinx (рис. 16), затем по графику функции sinx строится график функции sin2x (рис. 17) – это функция sinx, сжатая вдвое вдоль оси Х (контрольная точка - если sinx=0 в точке х=p, то sin2x=0 в точке х=p/2). Затем он растягивается вдвое вверх вдоль оси Y (рис. 18). Заметим, что в приведенном примере множитель 2> 1, примененный к координате х, приводит к сжатию вдвое вдоль оси Х, а множитель 2, стоящий перед функцией, - к растяжению вдоль оси Y. Этот эффект связан с тем, что вторая двойка не является множителем, примененным к координате y, если поделить обе части уравнения на 2, то становится видно, что к координате y применен коэффициент 1/2: y=2sin2x, y/2=sin2x. И коэффициент 1/2< 1, примененный к переменной y, приводит к растяжению вдвое вдоль оси Y. Таким образом, уравнения: и задают графики такой же формы, что и уравнение y=f(x), но в другом масштабе. Коэффициент а означает растяжение масштаба по обеим осям в а раз, коэффициент b - сжатие в b раз (термины сжатие и растяжение соответствуют a> 1 и b> 1). Для первого уравнения можно считать, что единицей масштаба является отрезок длины а, для второго уравнения - длины . В уравнении, задающем функцию в неявной форме, обе переменные равноправны и изменение масштаба выглядело бы так: F(a x, b y)=0 - сжатие по оси Х в а раз и по оси в b раз (говоря так мы подразумеваем, что а> 1 и b> 1, для а< 1 и b< 1 " сжатие" фактически будет означать растяжение ).