Связь между декартовыми координатами и полярными

Часто можно легко выписать формулу, показывающую, как изменятся координаты точки М, если от одной системы координат перейти к другой. Выведем формулы связи между декартовыми координатами (x, y) и полярными r и φ.

Пусть даны: декартова система координат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью X (рис. 7а), x и y – декартовы координаты точки, r и φ – ее полярные координаты. Из треугольника, образованного точками О, М и х, видно, что зависимость между полярными координатами r и φ точки М и ее прямоугольными координатами x и y выражается формулами, известными из тригонометрии:

y =rsinj, x =rcosj - вычисление декартовых координат по полярным

- вычисление полярных координат по декартовым (одной формулы для определения угла недостаточно).

То есть, зная декартовы координаты точки, мы можем определить ее полярные координаты. И наоборот. Зная ее полярные координаты, можно определить декартовы координаты.

Пример

Чему равны полярные координаты точки М, имеющей декартовы координаты один и минус один?

Подставив значения декартовых координат в формулы, которые задают выражение полярных координат через декартовы, получаем, что:

Так как точка М находится в четвертой четверти, то j=315° (рис. 7б)