Векторы на плоскости

Рассмотрим на плоскости две точки А и В. Обозначим через = вектор АВ, понимая под этим направленный отрезок АВ, т.е. отрезок, у которого точка А является началом, а точка В концом (рис 2а.).

Длина вектора (расстояние между точками А и В) называется его модулем и обозначается | |. Вектор нулевой длины называется нулевым, его обозначение или просто 0.

Для любого вектора и любого числа k определим вектор = k , являющийся произведением вектора на число k, с помощью правила:

вектор имеет то же направление, что и вектор , если k> 0, и противоположное, если k< 0, и | |=| k || | (на рисунке 2б показаны вектора и ).

Суммой двух векторов и будем называть вектор , полученный по следующему правилу:

расположим векторы и так, чтобы начало вектора совпало с концом вектора ; тогда началом вектора будет начало вектора , а его концом - конец вектора (рис. 2в).

Правило сложения векторов можно сформулировать иначе, в виде правила параллелограмма:

пусть начала векторов и совпадают; рассмотрим параллелограмм, у которого эти векторы являются соседними сторонами; тогда суммой векторов и является вектор - диагональ этого параллелограмма, с началом в общей для векторов и точке (рис. 2г).

Разностью векторов и называют вектор , для которого (рис.2д).

Рассмотрим декартову систему координат. Обозначим через и векторы единичной длины, направленные по осям координат.

Возьмем произвольный вектор и поместим его начало в начало координат, его конец - точка М с координатами х и y. Спроектируем вектор = на координатные оси (рис. 3а). Имеем: . Говорят, что х и y являются координатами вектора в этой системе координат и записывают это следующим образом: (x, y). Длина вектора (x, y) (его модуль) вычисляется по формуле: | | = .

Легко видеть, что если (x', y') связан с вектором (x, y) соотношением = k , то аналогичным соотношением связаны и их координаты: x'=kx, y'=ky ( рис. 3б).

Аналогично координаты суммы векторов равны сумме координат слагаемых (рис. 3в). Пусть = (x₁, y₁), = (x₂, y₂), = (x₃, y₃) и . Тогда x₃=x₁+x₂ и y₃=y₁+y_2.