Декартовы координаты

Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается следующим образом. Через точку О проводятся две взаимно-перпендикулярные прямые. Одна называется осью X, другая осью Y. Как на оси X, так и на оси Y задается масштаб – какой-либо отрезок принимается за единицу. Тогда для любой точки плоскости М определены ее декартовыкоординаты. Чтобы их найти, проведем через точку М прямую, параллельную оси Y. Расстояние от точки пересечения этой прямой с осью X до начала координат О есть первая координата точки М - х. Проведем через точку М прямую, параллельную оси X. Расстояние от точки пересечения этой прямой с осью Y до начала координат О есть вторая координата точки М - у. Число x называют абсциссой, а y - ординатой точки М (рис.1а).

И наоборот. Две координаты x и y определяют единственную точку плоскости. Чтобы ее найти, надо на оси x от точки О отложить величину x и провести через эту точку прямую, параллельную оси Y. На оси Y от точки О отложить величину y и провести через эту точку прямую, параллельную оси X. Точка пересечения этих прямых М имеет координаты x и y.

Легко видеть, что такой способ определения координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и парами чисел – координатами. В приведенной на рисунке 1 системе координат ось Y получается из оси Х поворотом против часовой стрелки. Такая система координат называется правой. В левой системе координат ось Y получается из оси Х поворотом по часовой стрелке. Если в правой системе координат точка имеет координаты (x, y), то в левой системе координат такие координаты будет иметь ее зеркальное отражение (рис.1а, б). Принято пользоваться правой системой координат. Понятие правого и левого направления может оказаться важным при изготовлении копий. Например, надо учитывать, что если на доску нанесен рисунок, отпечаток с него, полученный наложением, даст его зеркальное отражение.

При построении системы координат можно было бы взять оси, не ортогональные друг другу. Это не нарушило бы рассуждений об однозначном соответствии между точками и парами чисел, их координатами в такой системе. Ведь мы нигде не пользовались тем обстоятельством, что оси координат ортогональны друг другу. Такая система координат называется косоугольной ( рис. 1в ). Система координат, оси которой ортогональны друг другу, называется прямоугольной. Декартова система координат (прямоугольная, правая) является самой простой и часто используемой координатной системой.

Расстояние r между двумя точками M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂y₂) (рис. 1г) в прямоугольной системе координат согласно теореме Пифагора равно: