Объемы фигур

а) Объем V куба со стороной а: V=a³

б) Объем V параллелепипеда со сторонами a, b, c: V=abc.

в) Объем V цилиндра с основанием S и высотой h: V=Sh

г) Объем V пирамиды или конуса с основанием S и высотой h: V=1/3Sh.

д) Объем V шара радиуса r: V=4/3pr³.

е) Объем V усеченных пирамиды или конуса: V=ph/3(r₁²+r₁r₃+r₃²)

Существует универсальная формула для вычисления объема призм, пирамид и конусов, полных и усеченных, и даже для шара: V=h/6(b₁+4b₂+b₃), где h – высота тела, b₁ – площадь нижнего основания, b₂ – площадь среднего сечения (посередине его высоты), b₃ – площадь верхнего основания (рис. 9е).

Основание конуса и цилиндра может иметь любую форму – это может быть квадрат, параллелограмм, многоугольник, круг – важна только его площадь. Полезно помнить, что если конус (или пирамида) пересечен плоскостью, параллельной основанию, отношение площадей оснований равно квадрату отношения высот.

Это совсем просто доказать для пирамиды, когда основание – прямоугольник.

На плоскости отношение параллельных оснований треугольника согласно теореме о пересечении угла параллельными прямыми равно отношению высот, следовательно, стороны основания увеличатся во столько раз, во сколько увеличится высота. Например, отношение высот пирамид равно l. Тем самым площадь, которая является произведением 2-х сторон, увеличится в l² раз. Отношение объемов подобных фигур, равных (или пропорциональных) произведению основания на высоту, тем самым, равно кубу отношения высот (l³) (рис.10).