Золотая пропорция и правильные многоугольники

Выпуклый n-угольник, чьи стороны и углы равны, называется правильным n-угольником. Научившисьделить окружность на n равных частей, мы научились строить правильные многоугольники. В правильный многоугольник можно вписать окружность. Вокруг него можно описать окружность. Точка, равноудаленная от вершин и сторон многоугольника, называется его центром. Он служит одновременно центром вписанной и описанной окружности.Угол, под которым видна сторона многоугольника из его центра, называется центральным. Центральный угол a правильного n-угольника равен . Угол при вершине называется внутренним углом многоугольника. Величина углов, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, вершина одного из которых – центр окружности (центральный угол, его величина a), а вершина другого лежит на окружности (такие углы называются вписанными, его величина b), связаны соотношением: b=a/2. Величина внутреннего угла b вычисляется по формуле: . Действительно, центральный угол, соответствующий внутреннему углу правильного многоугольника, состоит из n-2 углов размером 360°/n. Откуда и получается приведенная формула.

Приведем значения величины центрального и внутреннего угла правильного многоугольника для наиболее часто встречающихся многоугольников (рис.9).

1. Правильный треугольник (n=3), a=120°, b=180°: 3=60°
2. Квадрат (n=4), a=90°, b=90°
3. Пятиугольник (n=5), a=72°, b=180°× 3: 5=108°
4. Шестиугольник (n=6), a=60°, b=120°
5. Восьмиугольник (n=8), a=45°, b=135°
6. Десятиугольник (n=10), a=36°, b=144

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна Rj (рис. 9). Действительно, центральный угол десятиугольника равен 36°. Сторона правильного десятиугольника является основанием равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны радиусу описанной окружности R. У этого треугольника углы при основании равны (180°-36°): 2=72°. Такой треугольник мы только что описали. Его основание в j раз короче боковой стороны, равной R, то есть его длина равна Rj.

Отсюда получаем способ деления окружности на 10 частей. В окружности радиуса R с центром О проводим вертикальный и горизонтальный диаметры. На горизонтальном диаметре располагаем центры 2-х окружностей радиуса R/2 (рис. 10а). Окружность с центром А, касающаяся окружностей О₁ и О₂, делит точкой D отрезок ОА в " золотом" отношении (см. рис. 7б), то есть AD=AB=AC=Rj.

Таким образом, равнобедренный треугольник АОС имеет стороны R, R и Rj и он подобен " золотому" треугольнику, углы которого равны 72°, 72° и 36° и его основание АС является стороной правильного многоугольника, число сторон которого находим из соотношения 360°: n=36°, то есть n=10, а хорда ВС – сторона правильного пятиугольника.

Соединив через одну вершины десятиугольника с помощью прямых, получим правильный пятиугольник, а соединив через одну вершины пятиугольника - пятиконечную звезду (рис. 10б).

Правильный пятиугольник и построенная на его основе пятиконечная звезда порождают знакомые уже нам равнобедренные " золотые" треугольники (на чертеже отмечены жирной штриховкой). Действительно, три угла с вершиной А равны друг другу, так как опираются на равные дуги. Следовательно, каждый из них равен 108°: 3=36°. Аналогично равны 36° все остальные углы между стороной пятиугольника и лучом звезды или между двумя лучами звезды. В силу равенства длин лучей звезды все треугольники, две стороны которых лучи звезды, – равнобедренные.

Таким образом, AD: AC=AC: CD=AB: BC=AD: AE=AE: EC=…=Ф. Из приведенной пропорции можно вывести следующие соотношения для сторон пятиугольников и лучей звезд. Например, примем длину ВС за 1. Тогда АВ=CD=Ф, AE=Ф², … Продолжая ребра пятиугольника, можно получить еще одну пятиконечную звезду, затем еще одну и т.д. – целую последовательность разбегающихся наружу звезд и пятиугольников. Соединяя между собой через одну вершины пятиугольников, получим последовательность звезд, сходящихся к центру окружности.