Введение. Период колебаний физического маятника (см

Период колебаний физического маятника (см. рис. 3) определяется по формуле

T = 2p , (1)

где J – момент инерции относительно оси подвеса;

m – масса маятника;

d – расстояние между осью вращения и центром тяжести маятника.

d ₁

d ₂

Рис. 3

Длина математического маятника с периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Эта величина определяется соотношением

l _П = . (2)

Вывод формул (1) и (2) приведен во введении к работе 5.

Точка, находящаяся на расстоянии l _П от оси вращения по линии, проходящей через центр тяжести, называется центром качания физического маятника. Можно показать, что если ось вращения поместить в центр качания, то маятник будет совершать колебания с тем же периодом. Для этого подставим в формулу (2) момент инерции в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера:

J = J ₀ + md ².

Получим:

l _П = + d, (3)

где J ₀– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно оси, проходящей через точку подвеса.

Заметим, что из выражения (3) следует

d = . (4)

Если подвесить маятник так, чтобы ось вращения проходила через центр качания, то она будет находиться от центра тяжести на расстоянии l _П – d. Приведенную длину этого перевернутого маятника можно найти по формуле (3), учитывая, что теперь расстояние от оси вращения до центра тяжести l _П– d, а m и J ₀ остались прежними. Центр качания перевернутого маятника по формуле (3) будет находиться от оси вращения на расстоянии

l _П¢ = + (l _П – d).

Учитывая выражение (4), находим, что

l _П = l _П¢.

Таким образом, во всяком физическом маятнике на прямой, проходящей через центр тяжести (центр инерции), можно указать пары точек, лежащих по разные стороны от центра тяжести и являющихся взаимно обратимыми, то есть через них проходят оси вращения, относительно которых период колебаний маятника одинаков.