Резонанс

Самостоятельно!

Колебания точки при действии возмущающей силы S=H sin (pt+ d ) представляются суммой свободных и вынужденных колебаний, которые определяет последний член в правой части уравнения (6) таблицы:

где h=H/m.

Вынужденные колебания имеют круговую частоту р, равную круговой частоте изменения возмущающей силы (т.е. период вынужденных колебаний равен периоду возмущающей силы), и амплитуду (A_B)

.

Коэффициент динамичности (l) – отношение амплитуды вынужденных колебаний к статическому смещению точки D, вызванному действием постоянной силы, равной по величине амплитуде H возмущающей силы:

l = А_В /D

Коэффициент расстройки (z) – отношение круговой частоты р вынужденных колебаний материальной точки к круговой частоте k ее собственных колебаний

z=p/k.

Коэффициент динамичности связан с коэффициентом расстройки зависимостью

При равенстве круговых частот свободных (собственных) и вынужденных колебаний (при p=k) имеет место явление, называемое резонансом. При резонансе переменная амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает.

Для исследования влияния сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний используется график зависимости коэффициента динамичности от коэффициента расстройки (см. рис.4)

Зависимость коэффициента динамичности l от коэффициента расстройки z при движении в среде с сопротивлением имеет вид

, где n = n/k.

Каждая из кривых, изображенных на рис.4, соответствует определенному значению n.

С увеличением n, т.е. с увеличением силы сопротивления, коэффициент динамичности l, а следовательно, и амплитуда вынужденных колебаний уменьшаются. В зоне вынужденных колебаний большой частоты, например при z> 3 все кривые, независимо от величины l, почти сливаются.

Следовательно, в этой зоне при вычислении амплитуды вынужденных колебаний силой сопротивления можно пренебречь.

Решение задач, связанных с исследованием прямолинейных колебаний материальной точки, вообще говоря, проводится по схеме, предложенной при решении задач на тему «Динамика точки». Однако, учитывая специфику движения под действием упругих сил (движение происходит около положения статического равновесия), оговорим более подробно некоторые пункты предыдущего изложения:

1. Выбрать систему отсчета с началом в положении статического равновесия рассматриваемой точки. Если конец недеформированной пружины не совпадает с этим положением, отметить на рисунке размеры, соответствующие длине недеформированной пружины l_н и величине ее статического удлинения5 (рис.5).

2. Отметив точку в произвольном положении на положительном отрезке оси, изобразить все действующие на нее силы. При изображении силы упругости принять во внимание, что она стремится вернуть пружину в недеформированное состояние. При учете сил сопротивления считать, что точка в данный момент движется в сторону возрастания координаты.

3. Составить дифференциальное уравнение движения в проекции на выбранную ось (при составлении дифференциального уравнения воспользоваться условием равновесия точки, что позволит исключить некоторые слагаемые в правой части уравнения).

4. Записать начальные условия движения, соответствующие условию задачи и выбору системы отсчета.

5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение движения (если составленное дифференциальное уравнение тождественно одному из уравнений, представленных в таблице, можно, не интегрируя его, записать соответствующее решение).

6. Определить постоянные интегрирования по начальным условиям движения точки.

Примечания

1. Для определения частоты или периода колебаний интегрировать дифференциальное уравнение движения нет необходимости. Достаточно привести его к одной из форм, представленных в таблице, и по соответствующим формулам определить искомые величины.

2. При учете сил сопротивления обратить внимание на зависимость решения дифференциального уравнения от числовых значений коэффициентов n и k.

3. При рассмотрении вынужденных колебаний точки принять во внимание возможность появления резонанса.