Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты. Пусть начальная фаза первого колебания равна нулю φ ₀₁ = 0, а второго φ ₀₂ ≠ 0:

Найдем уравнение траектории колеблющейся материальной точки, т.е. функцию :

а) если разность фаз равна нулю , то

- уравнение прямой, т.е. траектория точки – отрезок прямой в I и III квадратах (рисунок 3.4 а);

б) если разность фаз , то - аналогичная траектория, но расположенная во II и IV квадратах (рисунок 3.4 а – пунктирная прямая).

в) Если разность фаз , то

Решая уравнения

получаем:

- уравнение эллипса (рисунок 3.4 б) причем точка движется по часовой стрелке.

При разности фаз находим, что

Решая систему уравнений

получаем

- уравнение эллипса (рисунок 3.4б), но точка движется против часовой стрелки.

Если амплитуды по х и y равны А = В, то точка движется по окружности.

г) В общем случае произвольной разности фаз траектория также представляет собой эллипс, но с повернутыми осями и в зависимости от разности фаз наклон эллипса и направление движения точки разное (рисунок 3.4 в, г)

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний не одинаковых частот, траектория результирующего движения имеет довольно сложный вид.

Замкнутые траектории, описываемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Форма фигур Лиссажу зависит от отношения частот складываемых колебаний и разности фаз между ними (рисунок 3.5).