Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты методом векторных диаграмм

Произведем сложение гармонических колебаний, совершаемых по закону

,

методом векторных диаграмм.

На диаграмме оба колебания представим с помощью векторов и , поставленных относительно горизонтальной оси ох под углами соответственно φ ₀₁ и φ ₀₂, равными начальным фазам. Найдем векторную сумму по правилу сложения векторов (параллелограмм). Проекция вектора на ось ох равна сумме проекций: . Вектор является вектором амплитуды результирующего колебания. Этот вектор вращается с той же частотой ω ₀, что и составляющие колебания. Поэтому результирующее колебание тоже гармоническое, амплитудой А и начальной фазой φ ₀.

Согласно теореме косинусов

,

а) Если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на четное кратное π

то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд .

б) Если складываемые колебания находятся в противофазе

, то

Рассмотрим сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний отличающихся по частоте на очень малую величину.

Пусть для простоты расчета амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы их равны нулю:

Складывая эти выражения и, применив формулу тригонометрии, получаем:

.

Второй сомножитель в правой части данного выражения описывает гармоническое колебание со средней частотой . Если , то первый сомножитель в скобках меняется медленно по сравнению с cos ω _срt. Поэтому результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ω _ср, эффективная амплитуда А_эф которого изменяется со временем (рисунок 3.3): .

Периодическое изменение амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Частота биений, или частота пульсаций амплитуды, равна разности частот Δ ω складываемых колебаний. Период биений определяется формулой

.