Энергия волны

Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает кинетической энергией колеблющихся частиц Wk и потенциальной энергией деформации среды Wn.

Так как энергия источника гармонических колебаний меняется по гармоническому закону (таблица 2.4), то и кинетическая энергия всех частиц среды Wn меняется по гармоническому закону:

(5.10)

где р - плотность упругой среды, кг/м³;

А - амплитуда волны, м;

ω - циклическая частота, с^-1;

V - часть объема упругой среды, в которой распространяется волна, м³.

Из-за разности смещений в один и тот же момент времени t частиц среды, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии, потенциальная энергия деформации среды в объеме V тоже меняется по гармоническому закону, причем, в одинаковой фазе с кинетической энергией частиц в этом объеме:

(5.11)

где Е - модуль Юнга, Н/м²;

υ - скорость распространения волны, м/с.

Учитывая, что по (5. 1)

,

можно записать:

(5.12)

Полная энергия части объема V упругой среды:

(5.13)

Так как каждый элемент объема среды связан с окружающей средой, и энергия из одного участка может переходить в другой, то полная энергия отдельного участка среды не остается постоянной. Для среды протяженных размеров имеет смысл величина объемной плотности энергии w, то есть величина энергии единицы объема среды:

(5.14)

Среднее значение величины w за период Т равно:

(5.15)

а максимальное:

(при ) (5.16)

Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в пространстве волновой поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности w энергии волны. Потоком энергии Ф через некоторую площадку S среды называется отношение энергии W, переносимой через эту площадку за малый промежуток времени t, к величине промежутка времени t:

(5.17)

Количество энергии, переносимой за единицу времени t через единичную площадку S называется плотностью потока энергии U:

(5.18)

Пусть энергия W элементарного объема V = Sυ t (рисунок 5.6) переносится волной со скоростью υ. Тогда плотность потока энергии с учетом (5.4.5) равна:

(5.19)

Так как - величина векторная, то:

(5.20)

где - вектор плотности потока энергии, или вектор Умова, Дж/с∙ м².

Иначе:

(5.21)

т.е. вектор Умова имеет физический смысл потока энергии через некоторую площадку. Скалярная величина I, равная модулю среднего значения вектора Умова, называется интенсивностью волны:

(5.22)

Так как по (5.15) , то

(5.23)

то есть интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды волны.

При распространении волны в изотропной среде за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются равные объемы среды, поэтому интенсивность и амплитуда волны по мере распространения не изменяются, если только в среде не происходит преобразование энергии колебаний в другие виды энергии, т.е. поглощение.

В сплошной среде поглощение упругих волн обусловлено внутренним трением и теплопроводностью. В такой среде амплитуда и интенсивность волн меняются по экспоненциальному закону:

(5.24)

(5.25)

где α - линейный коэффициент поглощения, зависящий от свойств среды и частоты волны, м^-1;

A 0 - амплитуда источника, м;

I 0 – интенсивность источника, Вт/м²;

ℓ - расстояние, на которое распространяется волна, м.