Задача №3. Записать систему уравнений

Записать систему уравнений

в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы и методом Крамера.

Решение:

Пусть - матрица коэффициентов при неизвестных; - вектор–столбец неизвестных , , ; - вектор-столбец свободных членов:

.

Левую часть системы можно записать в виде произведения матриц , а правую – в виде вектор-столбца . Следовательно, систему можно записать в виде матричного уравнения

Если определитель матрицы отличен от нуля, то матрица имеет обратную матрицу . Умножив обе части равенства слева на матрицу , получим

.

Так как , где - единичная матрица, а , то

Формулу называют матричной записью решения системы линейных уравнений. Чтобы воспользоваться формулой , необходимо сначала найти обратную матрицу :

.

Заменив соответствующими матрицами, имеем

.

Откуда , , .

Сделаем проверку, подставив найденное решение в каждое уравнение системы.

Решим эту систему методом Крамера

Запишем решение по формулам .

Проверка:

Мы видим, что после подстановки решения в систему каждое уравнение обратилось в числовое тождество.

Ответ:

, , .