Нагрев термически массивных тел

Рассмотрим симметричный двусторнний нагрев теплотехнически бесконечной пластины толщиной 2·s при граничных условиях третьего рода.

t_ж

t_ж

α

α

s

-s

-x

x

Для описания температурного поля используем одномерное дифференциальное уравнение теплопроводности с постоянными теплофизическими коэффициентами

.

Введем новый коэффициент a=λ /ρ c, называемый коэффициентом температуропроводности. Он является теплофизическим коэффициентом, имеет единицу измерения м²/с и отвечает за скорость изменения температурного поля при тепловом воздействии на тело.

Тогда уравнение теплопроводности примет вид

.

Для решения этого уравнения требуются условия однозначности. Причем геометрические (форма, размеры) и теплофизические (λ, ρ, c, a) условия мы уже ввели.

Введем начальные условия при τ =0 t=t_н.

И граничные условия третьего рода при x=±s

, где

t_ж и t_пов температура окружающей среды (постоянная в течении всего времени нагрева) и актуальная температура поверхности тела;

α – коэффициент теплоотдачи с поверхности тела (постоянный в течении всего времени нагрева).

Качественно процесс нагрева термически массивного тела показан на рис. Он протекает с заметной разностью температур поверхности и центра (t_пов , t_ц). По мере приближения температуры поверхности к температуре среды t_ж скорость нагрева замедляется, температура по толщине пластины выравнивается. В металлургической теплотехнике этот период нагрева называют томильным.

Для получения количественной картины, т.е. температурного поля в любой момент периода нагрева необходимо проинтегрировать уравнение теплопроводности с краевыми условиями.

В теплофизике для удобства аналитического решения уравнение и систему краевых условий приводят к безразмерному виду. Величины, имеющие единицы измерения группируют для получения физически, значимой безразмерной величины. Безразмерные величины с высоким уровнем обобщения получают статус критерия и, как правило, их называют в честь ученых, внесших вклад в данный раздел физики. В этом случае критерий обозначается первыми латинскими буквами их фамилий.

При записи рассматриваемой системы из дифференциального уравнения теплопроводности и краевых условий получены следующие безразмерные величины:

· безразмерная температура где

t – текущая температура пластины;

· безразмерная координата X = x /s;

· безразмерное время (критерий Фурье)

· критерий Био -.

Безразмерное аналитическое решение дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности для бесконечной пластины с граничными условиями первого рода в безразмерном виде должно иметь вид –

.

Как правило, при построении температурного поля вызывают интерес только две температуры - на оси (х =0, Х=0) и на поверхности (х =s, Х=1) пластины (t_ц и t_пов). В этом случае вид решения упростится:

и

, где

. а.

В учебной и справочной литературе приводятся готовые решения для тел простой геометрической формы (теплотехнически бесконечная пластина и цилиндр). Решения представлены в виде номограмм.

Рис. График для расчета температуры в центре пластины.

Рис. График для расчета температуры на поверхности пластины.

Рис. График для расчета температуры на оси цилиндра.

Рис. График для расчета температуры на поверхности цилиндра.

Используя графики, по известной температуре центра или поверхности в конце нагрева и заданным начальным и граничным условиям можно определить необходимое время нагрева. Или наоборот при заданном времени восстановить достигнутые температуры на поверхности и оси заготовки.