Пример решения задачи. Задача. Наблюдения за СВ Х = {длина очереди в университетской столовой} привели к созданию табл

Задача. Наблюдения за СВ Х = {длина очереди в университетской столовой} привели к созданию табл. 5.

Таблица 5

Длина очередей в студенческой столовой

Для уровня значимости 0, 05 проверить гипотезу о том, что СВ Х распределена нормально.

Решение. Объем выборки n = 193 (сумма чисел второй строки таблицы). По выборке найдем выборочное среднее и СКО: . Величина h (разность между соседними значениями случайной величины) равна 1. Теоретические частоты будем вычислять в несколько этапов (см. табл. 6).

Таблица 6.

Вычисление теоретических частот

Значение СВ Х
Частота
	–2, 2	–1, 6	–1, 1	–0, 5	0, 01	0, 55	1, 1	1, 64	2, 19
	0, 035	0, 110	0, 217	0, 352	0, 398	0, 342	0, 217	0, 103	0, 036
	3, 94	11, 1	23, 3	36, 3		36, 1		10, 9	3, 85

Отсюда наблюдаемое значение критерия равно . Критическую точку ищем в прил. 3 для , (здесь 9 – число различных значений в выборке). Имеем Так как , то гипотеза принимается.

Ответ: величина, определяющая значение числа человек в очереди, подчинена нормальному закону.

16. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Зачастую значение одной СВ влияет на значение другой. Иными словами, зная значение СВ Х, можно предсказать (с некоторой точностью) значение Y. Рассмотрим серию примеров.

Пример 1. Пусть Х = {номер телефона наудачу выбранного человека}, Y = {продолжительность жизни того же самого человека}

Пример 2. Пусть Х = {количество сигарет, выкуриваемых наудачу выбранным человеком}, Y = {продолжительность жизни того же самого человека}.

Пример 3. Пусть Х = {вес наудачу выбранного человека}, Y = {рост того же самого человека}.

Пример 4. Пусть Х = {диаметр изготовленного подшипника}, Y = {вес того же самого подшипника}.

Поскольку номер телефона никак не влияет на продолжительность жизни, про СВ из первого примера говорят, что они независимы. Во втором примере (согласно данным Минздрава РФ) зависимость между СВ есть, но эта зависимость достаточно сложна: зная число выкуриваемых сигарет, нельзя точно предсказать, сколько проживет курильщик. В третьем примере зависимость между СВ более очевидна: по росту оценить вес человека гораздо легче. Наконец, в четвертом примере зависимость между СВ самая сильная: по диаметру детали вес (при известной величине плотности вещества) определяется достаточно точно.

Чтобы сформулировать степень зависимости на математическом языке, вводят понятие коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции (КК) случайных величин X, Y – это число из отрезка [–1, 1], которое имеет следующий смысл:

1. Если , то СВ X, Y называются некоррелированными, т. е. найти близкую к линейной зависимость между их значениями невозможно. Например, некоррелированными СВ являются СВ из первого примера.

2. Если , то увеличение значения СВ Х, как правило, приводит к увеличению значения СВ Y. Например, такое свойство можно отметить у СВ из третьего и четвертого примера.

3. Если , то увеличение значения СВ Х, как правило, приводит к уменьшению значения СВ Y. Например, отрицательный КК будет у СВ из второго примера.

4. Чем ближе значение к единице, тем сильнее зависимость между СВ X, Y. Так, КК из четвертого примера по величине должен быть близок к единице.

Как и значения выборочного среднего и СКО, величина КК в большинстве задач часто неизвестна, поэтому на практике пользуются приближением КК, а именно выборочным коэффициентом корреляции (ВКК) .

Вычисление выборочного коэффициента корреляции. Пусть значения СВ X, Y наблюдались парами

По наблюдаемым значениям СВ Х находим ее выборочное среднее и выборочное СКО . По наблюдаемым значениям СВ Y находим ее выборочное среднее и выборочное СКО .

Тогда значение ВКК:

(21)

Задача.Были изучены биографии 10 умерших курильщиков. Полученные данные занесены в табл. 7.

Таблица 7

Связь между средним числом выкуренных сигарет и продолжительностью жизни

Найдем значение ВКК. Пусть Х = {число выкуриваемых сигарет}, Y = {продолжительность жизни выбранного человека}. Объем выборки обеих СВ равен 10. Выборочное среднее и СКО случайной величины Х определяются с помощью чисел из второй строки таблицы: , . Выборочное среднее и СКО для СВ Y находятся из третьей строки таблицы: , . Тогда

Отрицательный знак ВКК говорит о том, что в данной выборке увеличение количества выкуриваемых сигарет в среднем приводило к уменьшению продолжительности жизни.