Пример решения задачи. Задача. Руководство предприятия рассматривает вопрос о замене старого оборудования на новое

Задача. Руководство предприятия рассматривает вопрос о замене старого оборудования на новое. Замена будет произведена, если СКО от стандартной длины деталей, произведенных на первом станке, будет меньше СКО от стандартной длины деталей, произведенных на старом станке. На старом и новом станках были изготовлены опытные партии из 13 и 11 деталей соответственно. При обработке результатов испытаний были найдены выборочные СКО: 1, 7 мм на старом станке и 1 мм – на новом. Сделать вывод об обоснованности замены оборудования при уровне значимости .

Решение. Рассмотрим СВ Х = {длина детали, изготовленной на старом станке} и Y = {длина детали, изготовленной на новом станке}; их СКО обозначим через .

В качестве основной гипотезы всегда надо брать наиболее благоприятный исход. Для руководства предприятия таковым является (можно оставить старое оборудование и не тратить средства на закупку нового).

Имеем ; ; ;

Вычисляем наблюдаемое значение критерия: .

Критическая точка определяется из прил. 5 для чисел , и уровня значимости . Имеем . Поскольку , то основная гипотеза принимается.

Ответ: СКО в длине производимых деталей различаются незначительно, и необходимости в замене оборудовании нет.

11. СРАВНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХ НОРМАЛЬНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СТАНДАРТНЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ

КОТОРЫХ НЕИЗВЕСТНЫ И ОДИНАКОВЫ

Постановка задачи. Имеется выборка значений нормальных СВ Х и Y объемов n и m соответственно. Средние значения СВ X, Y обозначим через . СКО случайных величин X, Y неизвестны, но предполагается, что они одинаковы. Необходимо проверить основную гипотезу при заданном уровне значимости .

Комментарии к постановке задачи. Данная задача похожа на задачу из разд. 7. Однако в данном случае при принятии решения мы располагаем меньшей информацией, поскольку величины СКО нам не известны и при расчете придется воспользоваться их приближениями – выборочными СКО.

План решения. Вычисляемвыборочные средние и выборочные СКО . Наблюдаемоезначение критерия вычисляется по формуле:

(9)

Критическая точка критерия зависит от выбранной конкурирующей гипотезы.

1. Если , то опеделяется из прил. 4, где в качестве значения берут , а уровень значимости берут из верхней строки таблицы. Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.

2. Если , то находится из прил. 4, где в качестве значения берут , а уровень значимости берут из нижней строки таблицы. Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.

3. Если , то вычисляется в соответствии с правилами предыдущего пункта. Если , то основная гипотеза принимается, в противном случае основная гипотеза отвергается.