Зависимость процесса охлаждения (нагревания) от формы и размеров тела.

Скорость процесса распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тел к их объему. Исследования процессов охлаждения тел указывают на то, что чем больше отношение поверхности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше. Сказанное справедливо для любых значений числа Bi и может быть наглядно продемонстрировано на примере охлаждения пластины, длинного цилиндра и шара. При Bi = 0 для пластины, цилиндра и шара уравнения температурного поля запишутся соответственно
Из приведенных уравнений следует, что при одинаковом определяющем размере и прочих равных условиях наибольшая скорость изменения температуры во времени будет наблюдаться для шара. Если сравнивать отношения поверхности к объему для пластины, цилиндра и шара, то их можно представить как 1: 2: 3.

Рис.Скорость охлаждения в центре для различных тел с одинаковым характерным линейным размером l_о. (J₀/J’ = Ф_о (Bi, Fo) для тел различной формы при Bi®¥)
1 — безграничная пластина; 2— квадратная балка бесконечной длины; 3—-цилиндр бесконечной длины; 4 —куб; 5—цилиндр, длина равна диаметру; 6 —шар.

из рисунка => При одинаковом значении числа Bi для шара скорость охлаждения больше, чем для любого другого тела. Для цилиндрических и призматических тел скорость процесса в сильной мере зависит от их длины. Чем меньше длина, тем выше скорость. Следует помнить, что все сказанное справедливо для тел с одинаковым характерным линейным размером l_о.

11.Приближенные методы решения.
1. Метод конечных разностей Шмидта. Этот метод основан на допущении возможности замены непрерывного процесса скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности
;

заменяется уравнением в конечных разностях, которое для одномерного поля имеет вид↑:

Практика применения этого метода к расчету плоских, цилиндрических и сферических тел, а также к расчету двумерного температурного поля.

2. Метод элементарных балансов.
Рассматриваемое тело разбивается на ряд элементарных геометрических форм, в пределах которых закон изменения температуры с известной степенью точности может быть принят линейным. В качестве элементарного объема целесообразно принять параллелепипед со сторонами δ х, δ у, δ z. Серией таких параллелепипедов могут быть описаны контуры любого тела. Расчетными точками при этом являются места пересечения плоскостей разбивки, т. е. углы параллелепипедов.
Температуры в расчетных точках снабдим индексами, характеризующими время и место. Температуру расчетной точки в данный момент времени обозначим просто t. Температуры в данный момент времени в соседних точках, находящихся на расстоянии δ х, δ у, δ z, обозначаются соответственно через t_{х+δ x}, t_{y+δ y}, t_{z+δ z}. Температура расчетной точки в последующий момент времени, т. е. через промежуток времени δ t, обозначается t_{t+δ t}.

Пусть заданы изменения параметров с и l в зависимости от температуры и краевые условия. Требуется определить температуру во всех расчетных точках во все последующие моменты времени. Расчетные формулы получим, применяя законы Фурье и Ньютона — Рихмана к составлению тепловых балансов группы элементарных параллелепипедов, на которые разбито тело. При этом могут встретиться разнообразные варианты расположения расчетных точек. Они могут находиться в пределах однородной среды, лежать на границе двух и более твердых тел, могут быть также расположены на границе с жидкостью или газом. При всякой конкретной задаче имеется ограниченное и обычно не очень большое число вариантов расположения точек. Для каждого такого варианта, объединяющего одну или несколько точек, необходима своя расчетная формула.

Тo обстоятельство, что рассматриваемые параллелепипеды невелики в сравнении с размерами всей системы, позволяет использовать в дальнейших выводах следующие допущения: а) изотермические поверхности в пределах данного элемента представляют собой параллельные плоскости, равноотстоящие одна от другой; б) средний за время δ t тепловой поток δ Q через какую-либо поверхность пропорционален начальному в пределах элемента времени δ t значению температурного градиента; в) увеличение энтальпии пропорционально приращению температуры в средней точке его объема.

Для получения расчетной формулы составим тепловой баланс элемента со сторонами δ х, δ у, δ z, температура в центральной точке которого является расчетной t и t_t+δ _t. Элемент расположен в центре группы из восьми таких же элементов. Количество теплоты, вошедшее в элемент за время δ t через левую грань, параллельную плоскости YOZ, т. е. грань, лежащую в плоскости, выражаемой уравнением х = — δ х/2, на основании закона Фурье равно:

Алгебраическая сумма количества теплоты, вошедшего за время  t через все грани в элемент, равна увеличению его энтальпии. Это может быть выражено в виде равенства

Подставляя в это равенство вместо δ Q₁, δ Q₂, …, δ Q₆, ранее найденные для них выражения (е) и решая полученное уравнение относительно интересующего нас значения температуры в следующий момент времени t_{t+δ t}. получаем:

Расчетная формула выше может быть представлена в виде

где

практически проще всего поступать так: найти величину  t_макс из условия А₁ = 0 при t = t_макс и при t = t_мин и из двух найденных значений
ввести в расчет наименьшее, так как при этом условие А  0 будет выполнено для всех температур, возможных в системе. Даже при незначительном повышении этой величины изменения температур начинают носить беспорядочный скачкообразный характер, и расчет становится неверным. Если система состоит из нескольких веществ или окружена жидкой средой, величина δ t_макс должна быть найдена для всех случаев, встречающихся в системе, и из найденных значений в расчете должно быть принято наименьшее.

12.Передача теплоты через плоскую стенку.

а) Граничные условия первого рода
Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности l. На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянными температуры t_с1 и t_с2. При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. Если ось Ох направить, как показано на рис. 2.1, то температура в направлении осей Оу и Oz будет оставаться постоянной: (3)

Граничные условия в рассматриваемой задаче зададим следующим образом: (4)
выражение для температурного поля

Из этого уравнения следует, что температура в стенке изменяется не линейно, а по кривой. Характер температурной кривой определяется знаком и числовым значением коэффициента b.

Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, состоящей из п однородных слоев. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.
При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же:
При заданных температурах на внешних поверхностях такой стенки, размерах слоев и соответствующих коэффициентах теплопроводности можно составить систему уравнений:

;

эквивалентный коэффициент теплопроводности l_экв зависит не только от теплофизических свойств слоев, но и от их толщины.

13.Конвективный теплообмен.

Конвективным теплообменом или теплоотдачей называется процесс переноса теплоты при движении жидкости или газа (как частный случай - между поверхностью твердого тела и жидкой или газообразной средой). При этом перенос теплоты осуществляется одновременным действием теплопроводности и конвекции.
Явление теплопроводности в жидкостях и газах, так же как и в твердых телах, вполне определяется коэффициентом теплопроводности и температурным градиентом. Иначе обстоит дело с явлением конвекции — вторым элементарным видом распространения теплоты. Здесь процесс переноса теплоты неразрывно связан с переносом самой среды. По природе возникновения различают два вида движения — свободное и вынужденное. Свободным называется движение, происходящее вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости в гравитационном поле. Возникновение и интенсивность свободного движения определяются тепловыми условиями процесса и зависят от рода жидкости, разности температур, напряженности гравитационного поля и объема пространства, в котором протекает процесс. Свободное движение называется также естественной конвекцией. Вынужденным называется движение, возникающее под действием посторонних возбудителей, например насоса, вентилятора и пр. В общем случае наряду с вынужденным движением одновременно может развиваться и свободное. Относительное влияние последнего тем больше, чем больше разность температур в отдельных точках жидкости и чем меньше скорость вынужденного движения. Под конвекцией понимают перенос теплоты при перемещении макрочастиц жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой.
Если в единицу времени через единицу контрольной поверхности нормально к ней проходит масса жидкости , кг/м²× с), где ω — скорость, r - плотность жидкости, то вместе с ней переносится энтальпия. Дж/(м²× с): q_конв=ρ ω i. конвективный теплообмен описывают уравнением

При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона - Рихмана: dQ_c=a(t_c—t_ж)dF.

2. Уравнение движения. В уравнении (2-5а) наряду с температурой t имеются еще три переменные: w x, w y и w z. Это говорит о том, что в движущейся жидкости температурное поле зависит еще и от распределения скоростей. Последнее описывается дифференциальным уравнением движения, вывод которого основан на втором законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

а) Сила тяжести приложена в центре тяжести элемента объемом dv. Ее проекция на ось х равна произведению проекции ускорения свободного падения g_x на массу элемента rdv, а именно: (в)
б) Равнодействующая сил давления (г)

в) При движении реальной жидкости всегда возникает сила трения

(д)

Суммируя теперь выражения (в), (г) и (д), получаем проекцию на ось х равнодействующей всех сил, приложенных к объему dv:

Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента rdv на его ускорение Dw_x/dt:

Приравнивая друг другу уравнения (е) и (ж) и производя сокращение на dv, окончательно имеем:

Все компоненты этого уравнения имеют размерность силы, отнесенной к единице объема (Н/м³).Таким же образом могут быть получены уравнения и для проекций равнодействующих сил на оси у и z, а именно:

Система уравнений выше и есть дифференциальное уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости — уравнение Навье—Стокса. Это уравнение справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения.

3. Уравнение сплошности. Так как в уравнении движения появилась новая неизвестная — давление P, то число неизвестных в уравнениях (2-5) и (2-7) больше числа уравнений, т. е. система оказалась незамкнутой. Чтобы получить замкнутую систему, необходимо к имеющимся уравнениям присоединить еще одно — уравнение сплошности, которое выводится на основе закона сохранения массы.

В направлении оси х через грань ABCD втекает масса жидкости
Через противоположную грань EFGH вытекает масса
Вычитая второе равенство из первого, получаем излишек массы жидкости, вытекающей из объема в направлении оси х, а именно:
Аналогичным образом для направлений по осям у и z

4. Краевые условия. Система дифференциальных уравнений для процессов конвективного теплообмена охватывает бесчисленное множество процессов теплоотдачи, которые описываются этими уравнениями, но вместе с тем каждый из них отличается от других некоторыми частностями. Чтобы ограничить задачу, из бесчисленного множества выделить рассматриваемый процесс и определить его однозначно, т. е. дать полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей, которые называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности состоят из: геометрических условий, характеризующих форму и размеры системы, в которой протекает процесс; физических условий, характеризующих физические свойства среды и тела; граничных условий, характеризующих особенности протекания процесса на границах тела; временных условий, характеризующих особенности протекания процесса во времени.

Когда условия однозначности для какого-либо конкретного случая заданы, то они вместе с системой дифференциальных уравнений составляют математическое описание данного процесса. Тем самым после решения системы уравнений можно получить полное описание процесса во всех деталях: поля температур, скоростей, давлений и т. д.
При известном поле температур определение коэффициента теплоотдачи основывается на следующих положениях.

Поток теплоты, передаваемый от жидкости к стенке, проходит через слой жидкости, прилегающей к поверхности, путем теплопроводности и может быть определен по закону Фурье:
С другой стороны для этого же элемента Ньютона—Рихмана записывается в виде dQ_c=a(t_c—t_ж)dF. Приравнивая правые части этих уравнений, получаем:

Это уравнение, позволяющее по известному полю температур в жидкости определить коэффициент теплоотдачи, называется уравнением теплоотдачи.

Условия однозначности могут быть заданы в виде числовых значений, в виде функциональных зависимостей или в табличной форме

8.Передача теплоты через шаровую стенку.

а) Граничные условия первого рода
Пусть имеется полый шар с радиусами r₁ и r₂, постоянным коэффициентом теплопроводности l и с заданными равномерно распределенными температурами поверхностей t_c1 и t_c2. Так как в рассматриваемом случае температура измеряется только в направлении радиуса шара, то дифференциальное уравнение теплопроводности в сферических координатах принимает вид: (1)
Граничные условия запишутся:
(2)
После первого интегрирования уравнения (1) получаем: Второе интегрирование дает: (3)
Постоянные интегрирования в уравнении (3) определяются из граничных условий (2). При этом получим:

С₁= - (t_c1-t_c2)/(1/r₁ – 1/r₂);

С₂=t_c1–((t_c1-t_c2)/(1/r₁ – 1/r₂))*1/r₁
Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (3), получаем выражения для температурного поля в шаровой стенке:
(4)
Для нахождения количества теплоты, проходящей через шаровую поверхность величиной F в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье:
здесь Q измеряется в ваттах.
Если в это выражение подставить значение градиента температуры dt/dr, то получим:

Эти уравнения являются расчетными формулами теплопроводности шаровой стенки. Из уравнения (2.64) следует, что при постоянном l температура в шаровой стенке меняется по закону гиперболы.