II. Тест Голдфелда-Кватдта

Этот тест применяется, когда есть предположение о том, что ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными ошибками. Предположим, что (стандартные) средние квадратичные отклонения возмущений s _i пропорциональны значениям объясняющей переменной x.

Тест состоит из следующих шагов:

a) Упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность;

b) Исключить в этом упорядочении (n – 2 m) средних наблюдений, (n – 2m) должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений, т.е.

m = 3n/8;

c) Провести две независимые регрессии первых m и последних m наблюдений и построить соответствующие остатки e ₁, …, e_m и e_{n-m+ 1}, …, e_n;

d) Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей проверяется с помощью критерия Фишера. Нулевая гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по m наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности) отвергается, если

табличное значение при уровне значимости a и (m – p) степенях свободы, где p – число регрессоров.

Мощность теста, т.е. вероятность отвергнуть гипотезу H₀ об отсутствии гетероскедастичности, когда действительно гетероскедастичности нет, оказывается максимальной, если выбирать m как указано выше. Формально тест работает и без исключения наблюдений, но, как показывает опыт, при этом его мощность уменьшается.

III. Тест Уайта (White)

Тест ранговой корреляции Спирмена и Голдфелда-Квандта позволяют обнаружить лишь само наличие гетероскедастичности, но они не дают возможности проследить количественный характер зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров и, следовательно, не представляют каких-либо способов устранения гетероскедастичности.

При использовании этого теста предполагается, что дисперсии ошибок регрессии представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений регрессоров, т.е.

s² = f_i (x_i), (1)

Чаще всего функция f выбирается квадратичной, что соответствует тому, что средняя квадратичная ошибка регрессии зависит от наблюдаемых значений регрессоров приближенно линейно. Гомоскедастичной выборке соответствует случай f = const.

Идея теста Уайта заключается в оценке функции (1) с помощью соответствующего уравнения регрессии для квадратов остатков:

, где u_i – случайный член. (2)

Гипотеза H₀ об отсутствии гетероскедастичности (условие f = const) принимается в случае не значимости регрессии (2) в целом.

a) Итак, сначала к исходной модели применяется обычный МНК;

b) Находятся остатки e_i, регрессии;

c) Осуществляется регрессия квадратов этих остатков e_i на все регрессоры x вида (2);

d) Осуществляется регрессия квадратов этих остатков e_i на квадраты регрессоров x ²;

e) Осуществляется регрессия квадратов этих остатков e_i на попарные произведения регрессоров;

Для пунктов c) – e) считается F – статистика, если где p – количество регрессоров, то гипотеза H₀ об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Заметим, что на практике применение теста Уайта с включением и не включением попарных произведений дают, как правило, один и тот же результат.

Привлекательной чертой теста является его универсальность. Однако, если гипотеза H₀ об отсутствии гетероскедастичности отклоняется, этот тест не дает указания на функциональную форму гетероскедастичности.