I. Тест ранговой корреляции Спирмена

Этот тест использует наиболее общие предположения о зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров:

s² = f_i (x_i),

При этом никаких дополнительных предположений относительно вида функций f_i не делается. Не накладываются также ограничения на закон распределения возмущений (ошибок) регрессии e_i.

Идея теста заключается в том, что абсолютные величины остатков регрессии e_i являются оценками s_i, поэтому в случае гетероскедастичности абсолютные величины остатков e_i и значений регрессоров x_i будут коррелированны.

Для нахождения коэффициента ранговой корреляции (КРК) следует ранжировать наблюдения по значениям переменной x_i и остатков e_i и вычислить

где d_i – разность между рангами значений x_i и e_i.

Коэффициент ранговой корреляции значим на уровне значимости a при n > 10, если статистика

где – табличное значение t – критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости a при (n-2) степенях свободы.

Если в модели более одной объясняющей переменной, то проверка гипотезы может выполняться с использованием любой из них.

Если ранги всех объектов d_i =0, , то =1, т.е. имеет место полная прямая связь. При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что r = -1. Во всех остальных случаях

При ранжировании иногда сталкиваются со случаями, когда невозможно найти существенные различия между объектами по величине проявления рассматриваемого признака: объекты, как говорят, оказываются связанными. Связанным объектам приписывают одинаковые средние ранги, такие, чтобы сумма всех рангов оставалась такой же, как и при отсутствии связанных рангов. Например, если 4 объекта оказались равнозначными в отношении рассматриваемого признака и невозможно определить, какие из 4-х рангов (4, 5, 6, 7) приписать этим объектам, то каждому объекту приписывается средний ранг, равный

Пример. Оценим регрессионную зависимость выпуска продукции на душу населения y от ВВП на душу населения x для 17 стран в одном году.

Пусть модель описывается y = a + bx +e, по МНК получена регрессионная зависимость стандартные ошибки для a и b, соответственно, 14, 5 и 0, 6; R² = 0, 608.

Составим таблицу рангов и разностей между рангами значений x_i и e_i.

следовательно, гипотеза H₀ об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.