Статическая модель межотраслевого баланса В.В. Леонтьева

Под балансовой моделью понимают систему уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между количеством продукции (ресурса), производимым отдельными экономическими объектами, и совокупной потребностью в этой продукции.

Основу обеспечения балансовых моделей составляет таблица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции.

Пусть производственная сфера хозяйства состоит из отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Производимая отраслями продукция идет на потребление населением, экспорт и государственные расходы (непроизводственное потребление или конечный продукт). Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Каждая отрасль выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель. Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени (например, год).

Введем обозначения:

– общий объем продукции -й отрасли (ее валовой выпуск);

– объем продукции -й отрасли, потребляемый -й отраслью при производстве объема продукции ;

– объем продукции -й отрасли, предназначенный для потребления в непроизводственной сфере (конечный продукт).

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск -й отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах, что можно записать в виде так называемых уравнений баланса

, .

Величины называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости). Они отражают интенсивность внутрисистемных потоков продукции; показывают, какое количество продукции -й отрасли необходимо для производства единицы продукции -й отрасли, если учитывать только прямые затраты. Нулевое значение коэффициента прямых затрат () указывает на отсутствие прямых связей между конкретными отраслями.

В.В. Леонтьев установил, что в течение длительного периода времени величины меняются слабо и могут рассматриваться как постоянные числа (технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа).

С учетом гипотезы линейности уравнения баланса примут вид:

, . (6.1)

Введем обозначения: – матрица прямых затрат (); – вектор-столбец валового выпуска; – вектор-столбец конечного потребления. Тогда соотношения баланса (6.1) в матричной форме можно записать так:

. (6.2)

Матричное уравнение (6.2) называют математической моделью линейного статического межотраслевого баланса В.В. Леонтьева.

Математическую модель межотраслевого баланса будем использовать для решения следующей задачи. Для периода времени (например, год) известны вектор конечного потребления и матрица прямых затрат . Требуется определить вектор валового выпуска . Для этого необходимо решить систему линейных уравнений (6.2). В силу прикладного характера задачи все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными.

Матрицу называют продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными элементами () существует решение уравнения (6.2) – вектор

,

все элементы которого неотрицательны (). В этом случае и модель Леонтьева называют продуктивной.

Матрицу называют матрицей полных затрат. Элементы матрицы называют коэффициентами полных затрат. Они показывают, какое количество продукции -й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечного продукта -й отрасли.

Сформулируем критерии продуктивности матрицы прямых затрат.

Теорема 6.1. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и все ее элементы неотрицательны.

Теорема 6.2. Матрица продуктивна, если максимум сумм ее элементов

по каждому столбцу (каждой строке) не превосходит единицы , причем хотя бы для одного столбца (строки) .

Теорема 6.3. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда наибольшее собственное число матрицы меньше единицы.

Приведем пример решения задачи в среде Maple.

Пример 6.1. Табл. 6.1 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период времени. Требуется:

1) составить матрицу () коэффициентов прямых затрат, выяснить, является ли эта матрица продуктивной;

2) найти объем валового выпуска (вектор ) каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно на 50, 40, 30 у.е., где .

Таблица 6.1.

№	Отрасль	Производств. потребление	Конечный продукт	Валовой выпуск
	Добыча и переработка
	Энергетика
	Машиностроение

Ниже приведен текст программы с ее описанием в среде Maple.

[> restart; with(LinearAlgebra): /Задание коэффициентов исходной СЛАУ модели Леонтьева/ [> x[1, 1]: =20: x[1, 2]: =20: x[1, 3]: =30: x[2, 1]: =60: x[2, 2]: =40: x[2, 3]: =40: x[3, 1]: =80: x[3, 2]: =20: x[3, 3]: =60: /Определение начального вектора конечного продукта/ [> y[1]: =160: y[2]: =240: y[3]: =350: /Определение начального вектора валового выпуска/ [> x[1]: =x[1, 1]+x[1, 2]+x[1, 3]+y[1]; x[2]: =x[2, 1]+x[2, 2]+x[2, 3]+y[2]; x[3]: =x[3, 1]+x[3, 2]+x[3, 3]+y[3]; /Задание коэффициентов матрицы А прямых затрат/ [> a[1, 1]: =x[1, 1]/x[1]: a[1, 2]: =x[1, 2]/x[2]: a[1, 3]: =x[1, 3]/x[3]: a[2, 1]: =x[2, 1]/x[1]: a[2, 2]: =x[2, 2]/x[2]: a[2, 3]: =x[2, 3]/x[3]: a[3, 1]: =x[3, 1]/x[1]: a[3, 2]: =x[3, 2]/x[2]: a[3, 3]: =x[3, 3]/x[3]: [> A: =Matrix([[a[1, 1], a[1, 2], a[1, 3]], [a[2, 1], a[2, 2], a[2, 3]], [a[3, 1], a[3, 2], a[3, 3]]], datatype=float); /Проверка на продуктивность матрицы с помощью теорем о продуктивности/ [> E: =Matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]): Matrix_Pyam_Zatrat_B: =MatrixInverse(E-A); [> lambda: =Eigenvalues(A): lambda[1]; lambda[2]; lambda[3]; /Задание векторов конечного потребеления и валового выпуска/ [> ishod_vector_val_vypuska: =Matrix([[x[1]], [x[2]], [x[3]]]); ishodvector_kon_vypuska: =Matrix([[y[1]], [y[2]], [y[3]]]); vector_kon_vypuska: =Matrix([[y[1]+50], [y[2]+40], [y[3]+30]]); /Определение нового вектора валового выпуска / [> vector_val_vypuska: = MatrixMatrixMultiply(Matrix_Pyam_Zatrat_B, vector_kon_vypuska);