Дифференциальное исчисление функции многих переменных

В данном разделе рассмотрим применение аппарата Maple к вычислению частных производных и нахождению экстремумов функции многих переменных. Встроенная в ядро Maple функция дифференцирования diff применима к функции многих переменных . Ее формат для вычисления частной производной () имеет вид:

[> diff(f(x), x1$k1, …, xn$kn);

Пример 2.2. Дана функция . Найти частные производные первого и второго порядков, проверить справедливость равенства смешанных производных второго порядка.

[> z: =cos(x*x+y)-exp(x-y*y); /задаем функцию/ [> dzdx: =diff(z, x); dzdy: =diff(z, y); /вычисляем частные производные первого порядка/ [> d2zdx2: =diff(z, x$2); d2zdy2: =diff(z, y$2); /вычисляем частные производные второго порядка/ [> d2zdxdy: =diff(z, x, y); d2zdydx: =diff(z, y, x); /вычисляем смешанные производные второго порядка/ [> evalb(d2zdxdy=d2zdydx); /проверяем равенство смешанных производных/

Безусловные экстремумы функции переменной находятся с помощью встроенной процедуры ехtrema:

[> ехtrema(f(x), {}, {переменные});

Однако эта функция, как мы увидим из примера, дает только точки, подозрительные на экстремум. Для точного ответа на вопрос об экстремуме необходимо исследовать функцию с помощью известного критерия Сильвестра.

Пример 2.3. Исследовать на безусловный экстремум функцию

.

Рабочий лист Maple имеет вид:

[> z: =2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4: [> plot3d(z, x[1]=-2..2, x[2]=-2..2); /строим график целевой функции/ /из графика функции видно, что она имеет две точки максимума/ [> extrema(z, {}, {x[1], x[2]}); /вычисляем возможные экстремумы/ [> dzdx1: =diff(z, x[1]); dzdx2: =diff(z, x[2]); /вычисляем частные производные первого порядка/ [> fsolve({dzdx1=0, dzdx2=0}, {x[1], x[2]}); /вычисляем точку возможного экстремума, пользуясь необходимым признаком точки экстремума/ [> d2zdx12: =diff(z, x[1]$2); d2zdx22: =diff(z, x[2]$2); d2zdx1dx2: =diff(z, x[1], x[2]); /вычисляем частные производные второго порядка/ [> Gesse: = Matrix(2, 2, [[d2zdx12, d2zdx1dx2], [d2zdx1dx2, d2zdx22]]); /строим матрицу Гессе частных производных второго порядка / /Ниже исследуется точка возможного экстремума с помощью критерия Сильвестра/ [> x[1]: =1.414213562: x[2]: =-1.414213562: Gesse; Delta[1]: = Gesse[1, 1]; Delta[2]: =Gesse[1, 1]*Gesse[2, 2]-Gesse[1, 2]^2;

Согласно критерию Сильвестра точка является точкой максимума функции. Вторая точка также является точкой максимума функции (матрица Гессе в ней имеет такой же вид).

Исследуем точку с помощью критерия Сильвестра.

[> x[1]: =0: x[2]: =0: Gesse; Delta[1]: =Gesse[1, 1]; Delta[2]: =Gesse[1, 1]*Gesse[2, 2]-Gesse[1, 2]^2; [> restart; z: =2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4:

Главный минор матрицы Гессе равен нулю, следовательно, необходимо проводить дополнительные исследования. Ниже показано, что при:

, : ,

: .

В достаточно малой окрестности точки функция меняет свой знак (при этом ), и точка не является точкой экстремума.

[> x[1]: =0: z; solve(z> =0, x[2]); [> x[1]: =x[2]: z; solve(z< 0, x[2]);

Условные экстремумы функции многих переменных находятся с помощью той же процедуры ехtrema, только в фигурных скобках {} указываются ограничения (уравнения связи) на переменные .

Известно, что задача на условный экстремум ставится так: найти точку условного экстремума (максимума или минимума) функции , если на переменные накладываются дополнительные ограничения (уравнения связи): ().

Пример 2.4. Найти точку условного экстремума функции

,

где переменные удовлетворяют уравнениям связи