Решение. Требуется:1) определить положение центра тяжести составного сечения, показанного на рис

Задача 1

Требуется: 1) определить положение центра тяжести составного сечения, показанного на рис. 2.5; 2) вычислить главные центральные моменты инерции сечения; 3) определить моменты сопротивления составного сечения относительно главных центральных осей.

Решение.

Часть I: определяем положение центра тяжести составного сечения.

Для выполнения первой части задания обратимся к плану, приведённому в § 1.2, стр. 6-7.

1. Разбиваем сложное сечение на простые составляющие: двутавр – фигура I, прямоугольник – фигура II, круг – фигура III, равнобедренный треугольник – фигура IV (рис. 2.6).

2. Определяем на основании соответствующих формул и стандартных таблиц геометрические характеристики простых составляющих сечения. (ГОСТ прокатных профилей есть в приложениях литературных источников, приведённых в списке литературы).

Геометрические характеристики двутавра согласно ГОСТ 8239 – 72 в соответствии с его расположением в сечении следующие (рис. 2.7, а):

Ø площадь ,

Ø высота двутавра ,

Ø ширина двутавра ,

Ø моменты инерции относительно собственных центральных осей

, .

В таблице стандарта стенка двутавра расположена вертикально, в рассматриваемой задаче стенка расположена горизонтально. При решении задачи это должно быть учтено. В таблице сортамента центральная ось, перпендикулярная стенке двутавра, обозначается буквой x. В рассматриваемой задаче, в виду того, что стенка расположена горизонтально, эта ось поворачивается на 90º и обозначается с помощью буквы y, а точнее - . Эти особенности, обусловленные расположением двутавра, были учтены выше, при определении геометрических характеристик двутавра.

Геометрические характеристики прямоугольника (рис. 2.7, б):

Ø площадь ,

Ø моменты инерции относительно собственных центральных осей

, .

Геометрические характеристики круга (рис. 2.7, в):

Ø площадь ,

Ø моменты инерции относительно собственных центральных осей

.

Геометрические характеристики равнобедренного треугольника (рис. 2.7, г):

Ø площадь ,

Ø моменты инерции относительно собственных центральных осей

, .

3. Выбираем и показываем на чертеже вспомогательную систему координат. В данном случае рационально совместить вспомогательную систему с собственными центральными осями прямоугольника. Обозначим их как , (см. рис. 2.6).

4. Показываем центры тяжести простых составляющих сечения (см. рис. 2.6). На чертеже они отмечены точками.

5. Определив положение центров тяжести простых составляющих, вычисляем их координаты относительно вспомогательных осей , .

.

, ,

.

6. Вычисляем координаты центра тяжести всего сечения относительно вспомогательной системы координат.

Так как сечение симметричное, то одна координата центра тяжести уже известна (центр тяжести находится на оси симметрии сечения). В данном случае известна координата x_с: .

Для определения координаты y_с преобразуем формулу (7), приведённую в § 1.2, следующим образом:

,

где , , , - статические моменты простых составляющих сечения относительно вспомогательной оси .

7. В соответствии с вычисленными координатами показываем на чертеже центр тяжести всего сечения (см. рис. 2.6).

8. Строим главные центральные оси сечения , .

Поскольку сечение симметричное, в данном случае главные центральные оси построить легко. Центр тяжести сечения уже показан, остаётся провести через него оси таким образом, чтобы одна их них совпала с осью симметрии сечения. В нашем случае это ось (см. рис. 2.6).

9. Определяем координаты центров тяжести простых составляющих сечения относительно главных центральных осей.

,

,

,

.

10. Проверяем правильность вычисления координат центра тяжести сечения.

Проверку правильности выполним путём вычисления статического момента сечения относительно главной центрально оси , . Результат вычисления должен равняться нулю (см. § 1.1). Поскольку сечение сложное, то согласно формуле (5) записываем выражение вида:

.

С учётом формулы (3) полученное выражение трансформируется следующим образом:

.

Приближённое равенство нулю объясняется округлением промежуточных результатов вычисления с точностью до второй цифры после запятой. Погрешность лежит в допустимых пределах.

Из проверки следует, что все вычисления первой части выполнены правильно.

Часть II: вычисляем главные центральные моменты инерции сечения.

1. Проводим параллельно главным центральным осям сечения центральные оси простых составляющих (рис. 2.6).

2. Определяем расстояния между соответствующими параллельными осями сечения.

, , .

После вычисления данных параметров следует их показать на чертеже (см. рис. 2.6).

3. Определяем момент инерции сечения относительно главной центральной оси x_с.

Поскольку сечение сложное следует воспользоваться первой формулой (13) § 1.5. Применительно к данному случаю, она запишется следующим образом:

,

, , , - моменты инерции двутавра (фигура I), прямоугольника (фигура II), круга (фигура III), треугольника (фигура IV) относительно главной центральной оси x_с всего сечения.

Рассмотрим первое слагаемое.

Поскольку момент инерции двутавра относительно собственных центральных осей известен (см. часть I, пункт 2), преобразуем его в искомый момент инерции . Для этого воспользуемся формулой перехода между параллельными осями (18). Для решения данной задачи она запишется следующим образом:

.

Рассуждая аналогичным образом, определим моменты инерции остальных составляющих сечения относительно оси x_с.

,

,

Подставив полученные значения в исходную формулу, получим:

.

.

4. Вычисляем момент инерции сечения относительно главной центральной оси y_с.

Воспользуемя второй формулой (13) § 1.5. Применительно к данному случаю, она запишется следующим образом:

.

Поскольку собственные центральные оси простых составляющих сечения , , , совпадают с главной центральной осью всего сечения y_с, формула перехода между параллельными осями не требуется. Следовательно, компоненты исходного выражения определяются как:

, , , .

Тогда:

,

.

Часть III: вычисляем моменты сопротивления составного сечения относительно главных центральных осей.

1. Определим расстояния от главных центральных осей до наиболее удалённых точек сечения, затем покажем их на чертеже (см. рис. 2.6).

,

,

.

2. Вычисляем осевые моменты сопротивления сечения с помощью формул (28) и (30).

, ;

.