Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения твердого тела

Кинетическая энергия тела согласно формуле (111.121) равна

где m — масса тела, I_c-его момент инерции относительно центральной оси С_z.
Вычисляя частные производные и и подставляя в урав-
нения Лагранжа второго рода, получим искомые дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения твердого тела

или в векторной форме
m r _c= R, I _c ε = M _c,
где ε =φ — угловое ускорение тела, г_c = ω _c — ускорение центра масс тела,
М_c — главный момент относительно точки С.
Дифференциальные ур-ния поступательного движения твердого тела: и т.д. – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен 0: =0.

Дифф-ные ур-ния вращения твердого тела вокруг неподвижной оси: ,

J_z – момент инерции тела относительно оси вращения z, – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент). _, e – угловое ускорение, чем больше момент инерции при данном _, тем меньше ускорение, т.е момент инерции при вращательном движении является аналогом массы при поступательном. Зная _, можно найти закон вращения тела j=f(t), и, наоборот, зная j=f(t), можно найти момент. Частные случаи: 1) если = 0, то w = const – тело вращается равномерно; 2) = const, то e = const – вращение равнопеременное. Уравнение аналогичное дифф-ному уравнению прямолинейного движения точки .