Тема 3. Средние величины

Задача

Дальность перевозки каменного угля характеризуется следующими данными:

Рассчитать:

1) среднюю дальность перевозок;

2) моду;

3) медиану.

Методические указания к решению задачи

Признаки общественных явлений, изучаемые статистикой, в конкретных условиях места и времени обладают вполне определенными размерами, хотя отдельные их значения различаются между собой.

Обобщающие показатели, выражающие типичные, т.е. характерные для определённых условий места и времени, размеры и количественные соотношения явлений общественной жизни, называются в статистике средними величинами, или просто средними.

В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные средние.

Введём следующие понятия и обозначения: признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается ; величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется индивидуальным его значением, или вариантами, и обозначается как …, ; частота – это повторяемость индивидуальных значений признака, обозначается буквой .

1) Часто приходится рассчитывать средние значения признака по ряду распределения, когда одно и то же значение признака встречается несколько раз.

Рядами распределения называют последовательно расположенные числа, характеризующие распределение совокупности по варьирующему признаку.

Варьирующим называется признак, принимающий некоторое числовое значение в пределах изучаемой совокупности.

Ряд распределения имеет вид двухсторонней таблицы: слева записываются значения признака (варианты), которые обозначаются через х, а справа записываются соответствующие им частоты, которые обозначаются через f.

По исходным данным задачи значением признака (вариантой) является дальность перевозки, а частотой – удельный вес перевозок.

Если значение признака представлено в виде интервала, то ряд распределения называют интервальным.

Таким образом, для расчёта средней дальности перевозки из всех имеющихся средних величин подходит средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая взвешенная равна:

Следовательно, для исчисления средней арифметической взвешенной для интервального ряда распределения выполняются следующие последовательные операции: умножение каждого варианта (серединного его значения) на его частоту, суммирование полученных произведений, деление полученной суммы на сумму частот.

2) Мода (М_о) представляет собой наиболее часто встречающееся значение ряда распределения.

В интервальном ряду распределения (вариационном) модой приближённо считают центральный вариант так называемого модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость).

Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой

где - нижняя граница модального интервала; - величина модального интервала; - частота, соответствующая модальному интервалу; - частота, предшествующая модальному интервалу; - частота интервала, следующего за модальным.

3) Медиана - это величина, которая делит упорядоченный ряд на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Для определения медианы интервального вариационного ряда сначала находят медианный интервал, т.е. интервал, в котором расположена медиана. Для этого подсчитывают накопленные частоты (S_m) до тех пор, пока не будет получена величина, равная половине объёма ряда. Этой величине и соответствует медианный интервал.

Объёмом ряда называют сумму всех частот и обозначают через . Расчёт накопленной частоты производится следующим образом:

1) накопленная величина первого интервала соответствует величине ряда распределения этого интервала;

2) затем к текущей полученной частоте прибавляется последующая частота ряда распределения, т.е. получается накопленная частота для каждого интервала.

3) По накопленной частоте определяется величина равная половине объёма ряда. Этой величине соответствует медианный интервал. Конкретное значение медианы М_е определяется по формуле:

,

где - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - объем ряда; - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; - частота медианного интервала.

По всем результатам задачи сделать соответствующие выводы.