Линейные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид:

(5)

При уравнение (5) примет вид

и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, а его общее решение имеет вид

,

где – произвольная постоянная, а – одна из первообразных функции .

Интегрирование линейного неоднородного уравнения (5) можно провести методом Бернулли.

Положим , тогда . Подставляя выражения для и в уравнение (5), получим:

.

Перенесём слагаемое в левую часть и сгруппируем с , вынося в качестве общего множителя:

. (6)

Согласно методу Бернулли функцию выбирают так, чтобы . Интегрируем уравнение с разделяющимися переменными

и выбираем какое-либо его частное решение . Подставляя найденную функцию в уравнение (6), получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно функции

,

, тогда

,

т.е. находим общее решение этого уравнения .

Учитывая, что , получаем общее решение уравнения (5)

.