Задание. Методические указания и пример выполнения

Методические указания и пример выполнения

Курсовой работы

Рекомендуемая литература:

1. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения.- СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998, 532 с.

2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов.- М.: Высшая школа, 2005.840 с.

3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику.- М.: Физматлит, 1994.- 336 с.

4. Зенкевич О. Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М., 1986. 318 с.

5. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов Matlab 5.x. — М.: Диалог-МИФИ, 1999.

6. Михлин С.Г. Курс математической физики. Спб.: Из-во " Лань", 2002.

7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1974.

Требования к выполнению и оформлению индивидуальных работ

Задания должны быть оформлены в электронном виде в редакторе MS Word. Название документа должно содержать номер группы, фамилию, имя, (например, 4_См_1_Иванова_Катерина.doc ). Файл должен быть отправлен по адресу rjabikova.t.v@lan.spbgasu.ru

Работа №1

Задание

Составить программу в MATLAB для нахождения приближенного решения краевой задачи

.

методом конечных разностей.

График приближенного решения сравнить с графиком точного решения

.

Решение.

Исходная задача может быть представлена в общем виде

(1)

. (2)

Здесь .

Разбиваем отрезок на интервалов точками (вводим узлы сетки):

,

.

Конечно- разностная схема для задачи (1) – (2) имеет вид

(3)

где , , , , .

Учитывая, что , для исходной задачи получим систему МКР

Составляем программу mkr.

%МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

clear all

clc

%ВВОДИМ НАЧАЛО И КОНЕЦ ПРОМЕЖУТКА

a = 0;

b = 1;

%ВВОДИМ УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ

u_a = 0;

u_b = 0;

% ВВОДИМ ЧИСЛО ИНТЕРВАЛОВ

n = 10;

h = (b-a)/n; % ВЫЧИСЛЯЕМ ШАГ СЕТКИ

% ВЫЧИСЛЯЕМ КООРДИНАТЫ УЗЛОВ

x(1) = a;

for i = 1: n

x(i+1) = x(1) + i*h;

end

%СОЗДАЕМ МАТРИЦУ СИСТЕМЫ МКР И ВЕКТОР ПРАВОЙ ЧАСТИ И ЗАПОЛНЯЕМ НУЛЯМИ

D = zeros (n+1, n+1);

r = zeros (n+1, 1);

%ВЫЧИСЛЯЕМ КОЭФФИЦИЕНТЫ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ МКР И ВЕКТОРА ПРАВОЙ ЧАСТИ

D (1, 1) = 1;

D(end, end) = 1;

r(1) = u_a;

r(end) = u_b;

for i = 2: n

D(i, i-1) = 1;

D(i, i) = -(2 + h^2);

D(i, i+1) = 1;

r(i) = x(i)*h^2;

end

%РЕШАЕМ СИСТЕМУ МКР

u = D\r;

%СТРОИМ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

plot(x, u, 'ro ', 'MarkerFaceColor', 'r')

%ВЫЧИСЛЯЕМ ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

X = a: 0.01: b;

Y1 = exp(1)*(exp(X)-exp(-X))/(exp(2)-1) - X;

%ДОБАВЛЯЕМ ГРАФИК ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ

hold on

plot(X, Y1, 'c-', 'LineWidth', 2)

%ОФОРМЛЯЕМ ГРАФИЧЕСКОЕ ОКНО

grid on

xlabel('{\itx}')

ylabel('{\itu(x)}')

title('-{\itu}\prime\prime + {\itu} = -{\itx}, {\itu}(0)=0 {\itu}(1)=0');

legend('МКР', 'ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ', 0)

legend('mkr', 'e(e^{x}-e^{-x})/(e^2-1) - x', 0)

Результат работы программы