Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Производные основных элементарных функций
· Показательная функция . Имеем . Действительная и мнимая части будут, соответственно, . Находим частные производные: . Следовательно, , т.е. условия Коши-Римана выполнены, значит, функция аналитическая, и ее производная: . · Функция . По определению: . Т.е. является аналитической функцией, тогда, пользуясь правилами дифференцирования, получим: . · Функция . Аналогично предыдущему: . · Функция . . · Функция . . · Функция . Логарифмическая функция является обратной к показательной функции, а значит – аналитической. Воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Имеем: , тогда . · Функция . Производную степенной функции вычислим непосредственно по определению: . Предел существует, следовательно, функция аналитическая, и ее производная: . Таким образом, мы показали, что основные элементарные функции комплексного переменного являются аналитическими функциями. Следовательно, всякая функция комплексного переменного, являющаяся композицией конечного числа основных элементарных функций, будет аналитической или дифференцируемой в области своего определения. Пример. Вычислить производную функции . Решение. Имеем: = = . 1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части Условия, при которых функция комплексного переменного дифференцируема, достаточно жесткие. Поэтому, аналитическая функция, с точностью до постоянного слагаемого, может быть задана свой действительной или мнимой частью. Действительная и мнимая части функции , аналитической в некоторой области D, связаны условиями Коши – Римана: . Пусть известна одна из частей аналитической функции, например . Из условия: можно найти (с точностью до неизвестной функции ). Эту функцию , с точностью до постоянного слагаемого, найдем из второго условия . А именно, или .
Пример. Найти аналитическую функцию , если известна её мнимая часть . Решение. Так как , то из условия находим: . Следовательно, , где функция пока неизвестна. Для нахождения функции дифференцируем это равенство по y и приравниваем к известной производной, используя условие : , откуда Следовательно, Окончательно получаем = . Ответ. .
|