Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа

Свойства модуля и аргумента комплексного числа позволяют получить формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень:

- эту формулу называют формулой Муавра.

Или в показательной форме .

Легко проверить, что эта формула остается справедливой и для , и для целых отрицательных степеней.

Пример. Найти

Решение. Запишем сначала число в тригонометрической форме:

, .

По формуле Муавра имеем:

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , для которого: .

Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня будет , а аргумент , где . Таким образом,

или .

Придавать «k» значения, большие, чем не имеет смысла, так как будем получать уже имеющиеся значения аргумента (с точностью до ). Следовательно, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений, модули которых одинаковы (), а аргументы двух последовательных значений отличаются на угол . Таким образом, все значения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса .

Пример. Вычислить все значения корня

Решение. , , ,

, .

Ответ. , .

Пример. Найти все значения .

Решение. Имеем , тогда .

Ответ. , .

1.2. Функции комплексного переменного

Пусть - некоторое множество комплексных чисел (или множество точек комплексной плоскости). Пусть комплексное число может принимать любое значение из , тогда будем называть - комплексным переменным, а - областью его изменения.

Определение. Величина называется функцией независимого переменного , если каждому значению соответствует одно или несколько комплексных значений , при этом пишут: .

Запишем комплексные числа и в алгебраической форме:

, .

Тогда , и значит, задание функции комплексного переменного эквивалентно заданию двух действительных функций от двух действительных переменных.

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое , что как только (). Записывают: .

Несложно показать, что соотношение ,

где , а , эквивалентно двум действительным соотношениям: .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и .

Если , определенная на множестве , непрерывна в каждой точке этого множества, то говорят, что она непрерывна на множестве . Вновь легко показать, что условие непрерывности функции в точке эквивалентно двум соотношениям: . Таким образом, функция комплексного переменного непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части, рассматриваемые как функции действительных переменных и , непрерывны в той же точке.

Введем определения основных элементарных функций комплексного переменного.

Показательная функция .

Определение. Функция для комплексных значений z=x+iy определяется формулой: .

Следовательно,

Свойства функции :

· Для любых и справедливо: .

· Функция периодична с периодом : .

· Функция непрерывна на всей комплексной области.

· Для любого имеют место равенства:

· Функция принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение разрешимо для любого комплексного .