Пример №4

К решению четвертой задачи первой контрольной работы следует приступить после изучения тем 1.8 и 1.9 и тщательного разбора приведенных в данном пособии примеров. В задачах рассматривается равнопеременное движение точки, поэтому, прежде чем приступить к решению этой задачи, надо четко представлять, что такое скорость и ускорение движения точки, знать, какие существуют виды движения точки, знать, какие существуют виды движения точки в зависимости от ускорения. Напомним, что ускорение — векторная величина, которая характеризует быстроту изменения скорости как по модулю, так и по направлению. Ускорение, характеризующее быстроту изменения числового значения скорости, называют касательным, а по направлению — нормальным. Касательное ускорение а_τ всегда направлено по касательной к траектории в рассматриваемый момент времени. Если числовое значение скорости с течением времени остается неизменным, то касательное ускорение отсутствует. Это случай так называемого равномерного движения. Движение с постоянным касательным ускорением называется равнопеременным.

Нормальное ускорение а_n всегда направлено по радиусу к центру кривизны траектории. Если точка движется прямолинейно, то скорость по направлению не меняется, значит нормальное ускорение отсутствует. Надо хорошо знать формулы, связывающие пройденный путь, скорость, ускорение и время. Решение всех задач для большей наглядности целесообразно иллюстрировать рисунками.

Задание: Точка, движется равноускоренно из состояния покоя и за время t = 10 с проходит путь

s = 300 м. Найти скорость и полное ускорение в конце 10 —й секунды от начала движения, если движение происходит по дуге окружности радиуса r =400 м.

Решение. Из условий задачи следует, что мы имеем дело с частным случаем равноускоренного движения — движения без начальной скорости, т.е. J₀=0. Для этого случая формулы пути (s, строго говоря, не путь, а расстояние точки от ее начального положения, и в общем случае движения эти два понятия не совпадают. Но в частном случае, когда точка все время движется в одном направлении и начало ее движения совпадает с началом отсчета расстояния, понятия пути и расстояния совпадают. В примерах, приведенных в данном пособии, пройденные точкой путь и расстояния одинаковы) и скорости упрощаются:

Выразив из формулы пути ускорение и подставив значения входящих величин, получим

Задано, что движение равноускоренное, значит касательное ускорение постоянно и, следовательно, в конце 10 — й секунды остается таким же.

Для вычисления нормального ускорения необходимо знать скорость точки и радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Найдем скорость:

Теперь можно вычислить нормальное ускорение:

Полное ускорение найдем из формулы

a= a2τ +a2n= 62+92=10, 8м/с2

На рисунке 4 изображен участок траектории (точка О соответствует началу движения точки, точка А — концу рассматриваемого движения), а также векторы скорости, ускорений в начале и конце движения.

Задание:

При равнопеременном движении точки по дуге окружности радиуса r = 500 м и на пути s = 1200 м ее скорость уменьшается с 30 до 10 м/с. Найти время движения и пройденный путь до полной остановки точки.

Решение.

В задаче дано изменение скорости на пути s = 1200 м. Ни из формулы пути, ни из формулы скорости непосредственно нельзя найти касательное ускорение или время этого движения.

Запишем обе формулы:

Из (2) a_τ t=J-J₀

Подставим полученное выражение в (1) и выразим время t:

, откуда

, тогда

Найдем касательное ускорение:

Вычислим время движения точки до остановки, обозначив его через t_к. Из формулы скорости имеем J_к = J₀ + а_τ t_к, но J_к = 0 тогда 0 = J₀ + a_τ t_k, откуда t_k = -J₀/а_ℓ = -30/-0, 33 = 90с.

Теперь можно найти полный путь, пройденный точкой до остановки: