Задача № 5. Для консольной балки требуется из расчета на прочность определить размеры поперечных сечений для трех вариантов и вычислить перемещения: прогиб свободного

Для консольной балки требуется из расчета на прочность определить размеры поперечных сечений для трех вариантов и вычислить перемещения: прогиб свободного конца балки и угол поворота сечения, находящего на расстоянии 2а от заделки.

На консольную балку действует постоянная нагрузка (F и m) и временная равномерно распределенная нагрузка q.

Требуется:

1. Найти расчетные значения нагрузок и сопротивление материала.

2. Определить реакции жесткой заделки.

3. Построить эпюры и .

4. Установить размеры поперечных сечений для трех вариантов, исходя из условия прочности.

5. Вычислить удельный момент сопротивления полученных сечений и выбрать из них наиболее рациональное.

6. Рассчитать величину прогиба свободного конца балки и угол поворота сечения, находящегося на расстоянии 2а от заделки. Расчет выполнить для балки с наиболее рациональным сечением.

Дано:

Размер балки

Нормативные нагрузки и соответствующие коэффициенты надежности по нагрузке:

постоянная ; ; ;

временная ; .

Нормативное сопротивление материала по изгибу

Коэффициент надежности по материалу

Коэффициент условий работы

Модуль продольной упругости материала

Варианты поперечных сечений балки смотреть на рисунке.

Решение.

1. Определение расчетных значений нагрузок и расчетного сопротивления материала R:

2. Определение реакций жесткой заделки.

Мысленно освободим балку от связей и запишем уравнения равновесия:

, ,

отсюда момент в заделке

, ,

Вычислим реакции от расчетных нагрузок:

Реакции от нормативных нагрузок:

3. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил от расчетных нагрузок.

Разобьем балку на три участка. Проведем на каждом участке произвольные сечения z. Рассматривая отсеченные части в состоянии равновесия, запишем аналитические выражения и для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

I участок,

(линейный закон),

при ,

при ,

Поперечную силу найдем, исследуя дифференциальную зависимость:

II участок,

(квадратная парабола),

при , ,

при , .

линейный закон,

при , ,

при ,

III участок,

(квадратичная парабола).

при ,

при ,

- это линейная зависимость:

при , ,

при , кН

По найденным значениям и на каждом участке строим эпюры. Опасное сечение балки находится возле заделки, где .

4. Определение размеров поперечных сечений.

Запишем условие прочности для опасного сечения по нормальным напряжениям:

откуда расчетный (требуемый) момент сопротивления сечения составит

Найдем размеры сечений для трех вариантов.

а. Осевой момент инерции и момент сопротивления данного сечения вычисляются по формулам:

Приравняв , найдем размер сечения:

Тогда площадь сечения

б. Вычислим осевой момент инерции и момент сопротивления сечения:

Приравняв , найдем размер сечения:

Тогда площадь сечения =659, 95

в. Момент сопротивления одного двутавра:

Из таблицы 2 приложения выбираем двутавр №45, для которого , ,

5. Вычисление удельных моментов сопротивления полученных сечений:

а.

б.

в.

Наиболее рациональным является сечение балки из двух двутавров (вариант в), у которого при наименьшей площади осевой момент сопротивления имеет наибольшее значение.

6. Определение прогиба и угла поворота сечения методом начальных параметров.

Заметим, что перемещения определяются от нормативной нагрузки. Реакции найден в п.2.

Поместим начало координат О на левом конце балки, в заделке. Продлим пунктиром линию действия распределенной нагрузки q до правого конца балки и покажем компенсирующую нагрузку на участке СД.

Очевидно, что начальные параметры равны нулю:

Для участка СД запишем универсальные уравнения прогибов углов и углов поворота учитывая нагрузки, расположенные левее сечения z:

Полагая в уравнении (1) , найдем прогиб свободного конца D балки, состоящей из двух двутавров №45:

Знак минус означает, что точка D переместится вниз.

Полагая в уравнении (2) и учитывая слагаемые, соответствующие нагрузкам от начала координат до точки С, найдем угол поворота сечения:

Знак минус означает, что сечение C повернется по направлению часовой стрелки.

Ответ: прогиб свободного конца , угол поворота .