Решение типового примера. Пусть события образуют полную группу событий с заданными вероятностями и называются гипотезами

Пусть события образуют полную группу событий с заданными вероятностями и называются гипотезами. Событие появляется с одной из этих гипотез с заданными вероятностями. Тогда вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности .

Если известно, что в результате испытания появилось событие , то вероятность того, что оно произошло именно с гипотезой , вычисляется по формулам Байеса , где .

П р и м е р. На базу поступает 26% продукции с первой фабрики, 32% со второй и 42% с третьей фабрики. Известно, что средний процент нестандартных изделий для продукции первой фабрики равен 6%, для второй – 2% и для третьей – 2, 5%. Найти вероятность того, что наудачу взятое с базы изделие произведено на первой фабрики, если оно оказалось стандартным.

Р е ш е н и е. Обозначим события – гипотезы:

– изделие произведено на первой фабрике;

– изделие произведено на второй фабрике;

– изделие произведено на третьей фабрике.

Из условия задачи найдем вероятности этих событий: .

Событие – наудачу взятое изделие оказалось стандартным, может произойти с одной из этих гипотез с вероятностями: .

Вычисляем вероятность события по формуле полной вероятности: .

Вероятность того, что наудачу взятое стандартное изделие произведено именно на первой фабрике, вычисляем по формуле Байеса: . Значит, 25, 26% всех стандартных изделий на базе принадлежат продукции первой фабрики.

Задачи 301–320. При решении задач необходимо использовать формулу Бернулли или асимптотические формулы в схеме повторных испытаний.

301. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность, имея 6 билетов, выиграть: а) по двум билетам;

б) не менее четырех?

302. Вероятность попадания в цель, при одном выстреле равна 0, 4. Найти вероятность ровно 100 попаданий из 320 выстрелов.

303. Найти вероятность того, что при 600 подбрасываниях игральной кости число 4 выпадет не менее 90 раз и не более 120 раз.

304. В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

305. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не более трех.

306. На каждые 10 клубней собранного картофеля в среднем приходится 6 крупных. Наудачу выбрано 4 клубня. Найти вероятность того, что среди них окажется крупных: а) не менее трех, б) два.

307. В ремонтной мастерской имеется 4 мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0, 8. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) три мотора, б) хотя бы один.

308. Вероятность изготовления нестандартной радиолампы равна 0, 004. Какова вероятность того, что в партии из 1000 радиоламп окажется: а) две нестандартных; б) не более 3 нестандартных?

309. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель поражена: а) три раза; б) не более двух раз.

310. Вероятность нарушения стандарта при изготовлении сверла равна 0, 3. Найти вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных сверл заключено между 235 и 250.

311. Всхожесть семян ржи равна 90%. Найти вероятность того, что из 900 высеянных зерен число взошедших не более 830.

312. Школа принимает в первые классы 300 детей. Определить вероятность того, что среди них девочек будет половина, если вероятность рождения мальчиков равна 0, 515.

313. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0, 005. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет: а) на четырех веретенах; б) не более чем на двух.

314. Механизм состоит из 1000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа отдельного узла в течение года равна 0, 003. Найти вероятность отказа в течение года: а) двух узлов; б) не менее трех.

315. Цех выпускает 90 % продукции высшим сортом. Контролер должен проверить партию из 200 изготовленных изделий. Найти вероятность того, что среди них высшего сорта окажется не более 170.

316. Вероятность того, что пара обуви, взятая на удачу из изготовленной партии окажется высшего сорта, равна 0, 4. Чему равна вероятность того, что среди 500 пар, поступивших на контроль, высшего сорта окажется не менее 228 и не более 252?

317. Вероятность того, что в некотором цеху станок в течение месяца выйдет из строя равна 0, 001. В цеху 400 станков. Определить вероятность того, что в течение месяца выйдет из строя: а) 3 станка;

б) не более двух.

318. В течение года погодные катаклизмы приносят значительный ущерб примерно одному из 50 хозяйств области. Определить вероятность того, что из 200 хозяйств области пострадает не более трех хозяйств.

319. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000.

320. Всхожесть семян данной культуры составляет 90%.Определить вероятность того, что из отобранных и высеянных 1000 зерен взойдет не менее 880 и не более 920 штук.