Решение типового примера. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными имеет вид

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными имеет вид

или, с учетом , .

Разделяем переменные, деля обе части уравнения на произведение . Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными и получаем общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

П р и м е р. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимиcя переменными, удовлетворяющее заданному начальному условию

Р е ш е н и е. Подставляем в уравнение и получаем или . Делим обе части уравнения на произведение , получаем уравнение с разделенными переменными . Интегрируя обе части, получаем общее решение: или .

Подставляем начальное условие в общее решение , отсюда .

Подставляем найденное значение произвольной постоянной в общее решение и получаем искомое частное решение .

Задачи 241–260. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию.

241.

242.

243.

244.

245.

246.

247.

248.

249.

250.

251.

252.

253. .

254. .

255.

256. .

257. .

258. .

259. .

260. .