Числовые ряды. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если числа образуют бесконечную числовую последовательность, то выражение вида

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если числа образуют бесконечную числовую последовательность, то выражение вида

называют числовым рядом. Числа называют членами ряда, а - общим членом ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность , , , , , называют последовательностью частичных сумм ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конечный или бесконечный предел частичной суммы ряда при условии, что : называют его суммойи пишут .

Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимс я, в противном случае (т.е. если сумма равна , либо суммы вовсе нет) – расходящимся.

Например.

1) Рассмотрим числовой ряд .

Последовательность частичных сумм для этого ряда имеет вид: , , , , , . Так как сумма первых - членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле , (здесь - первый член прогрессии, - знаменатель прогрессии), то сумма ряда будет равна

Таким образом, ряд сходится и его сумма равна .

2) Для ряда частичные суммы равны , , , , , и поэтому сумма ряда . Значит, ряд расходится.

3) Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

Его частичная сумма будет равна (если ) . Если знаменатель прогрессии то , т.е. ряд сходится. При условии, что ряд расходится: если , то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет.

Рассмотрим сходящийся числовой ряд. Разность между суммой ряда и его частичной суммой называют -м остатком ряда

.

Остаток ряда представляет собой ту погрешность, которая получается, если в качестве приближенного значения суммы ряда взять сумму первых членов этого ряда.

Так как предел последовательности , то, .

Поэтому, взяв достаточно большое число членов сходящегося ряда, можно вычислить сумму ряда с любой степенью точности.

Сходящиеся числовые ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами.

1. Если члены сходящегося ряда умножить на один и тот же множитель , то его сходимость не нарушится, а сумма ряда умножится на число .

2. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать (или

вычитать), вновь полученный ряд также сходится.

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного добавлением или отбрасыванием конечного числа членов.

4. Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член при неограниченном

увеличение номера n стремится к нулю, т.е. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Если числовой ряд сходится, то как , так и при имеют конечный предел . Следовательно, поскольку , имеем

.

Таким образом, ряд может сходиться только при условии, что . Если же или не существует, то ряд расходится. Это условие является достаточным признаком расходимости ряда.

ПРИМЕР. Рассмотрим числовой ряд .

Найдем предел общего члена , т. е. ряд расходится.

© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.